Метод простых итераций для интегральных уравнений

[StaticZero]

Обозначим оператор $K$: $Ku = \int \limits_a^b K(s, t) u(t) \ \mathrm dt$. Уравнение Фредгольма второго рода имеет вид $u + \lambda Ku = f$, $f \in C[a, b]$, $K(s, t) \in C\left([a, b]\times[a, b]\right)$.

Как следствие теоремы Банаха, метод простых итераций

$$ u_{n+1} = \lambda K u_n + f $$

наверняка сойдётся к решению, если $|\lambda| M (b - a) < 1$, $M = \max |K(s, t)|$ на квадрате. Это так, если решение ищется в $C[a, b]$ с равномерной метрикой и $K: C[a, b] \mapsto C[a, b]$. Однако, если $u \in L_2[a, b]$, то $\lambda K u + f \in C[a, b]$, поэтому $L_2$-решение обязательно непрерывно. Но всамой метрике $L_2$ оценка другая: пусть

$$ B^2 = \int \limits_a^b \mathrm ds \int \limits_a^b \mathrm dt \ K^2(s, t) < \infty, $$

тогда решение в $L_2$ найдётся наверняка, если $|\lambda| B < 1$. Заметим, что если $K(s, t)$ не постоянная функция, то $B < M(b-a)$, то есть возможен случай

$$\frac{1}{M(b - a)} \leqslant |\lambda| < \frac{1}{B}.$$

По сути это означает, что мы, заменив метрику с $C[a, b]$ на $L_2[a, b]$, улучшили гарантированную теоремой Банаха границу сходимости итераций (и при этом не испортили решений, так как даже после первой итерации $u_2$ уже непрерывна). Вопрос: а дальше можно улучшить эту оценку? Имеется в виду та же процедура: возьмём полное метрическое пространство $U$ такое, что $C[a, b] \subset U$ и притом по метрике $U$ оператор правой части $Au = \lambda K u + f$ является сжимающим при

$$ \frac{1}{B} \leqslant |\lambda| < N, $$

где $N$ --- какая-то другая константа, зависящая только от $K$?

[dsge]

StaticZero в сообщении #1365901 писал(а):

о означает, что мы, заменив метрику с $C[a, b]$ на $L_2[a, b]$, улучшили гарантированную теоремой Банаха границу сходимости итераций (и при этом не испортили решений

Нет, не означает. В С может расходится.

[StaticZero]

dsge в сообщении #1365943 писал(а):

В С может расходится.

А как построить контрпример? С моей колокольни не видно: если итерации сходятся в $L_2$ и каждое приближение заведомо непрерывно, то как может быть одновременно

$$ \int \limits_a^b |u_n(t) - u(t)|^2 \ \mathrm dt \to 0 $$

и $u_n \not \to u$ в $C[a, b]$?

[thething]

Ну вообще-то из сходимости в среднем квадратичном не следует равномерная сходимость. Контрпример простейший.

[StaticZero]

Кажется, понял. Дело в том, что даже если у нас есть последовательность $u_n$ непрерывных функций, то в случае, когда

StaticZero в сообщении #1365901 писал(а):

$$\frac{1}{M(b - a)} \leqslant |\lambda| < \frac{1}{B}.$$

можно гарантировать лишь то, что $u_n$ сходится не обязательно к истинному непрерывному решению $u$, а к какой-то функции $u'$, которая совпадает с $u$ почти всюду (но поточечно может отличаться как угодно). Верно?

[dsge]

Сходимость в $L_2$, то что получится в пределе не обязательно принадлежит С.

[StaticZero]

Меня сбило с толку, что решение интегрального уравнения при данных условиях всегда обязано лежать в $C[a, b]$. С другой стороны, можно видеть, что

$$ ||u_n - u|| \leqslant \frac{\alpha^n}{1 - \alpha} || u_0 - Au_0||, $$

где $A u_0 = \lambda K u_0 + f$, $||Au - Av|| \leqslant \alpha ||u - v||$ $\forall u, v$, $\alpha < 1$. И вот какие нормы возьмём, такой результат и получим.

Но всё же вопрос об улучшении оценки остаётся...

[dsge]

Чтобы не возникало путаницы с пространствами, обычно справа внизу у нормы пишут обозначение пространства $\left\lVert \cdots \right\rVert_{L_2}$.

StaticZero в сообщении #1366002 писал(а):

вопрос об улучшении оценки остаётся

Можно сделать более тонкую оценку

$$\vert\lambda\vert \max_s \int \limits_a^b \vert K(s, t) \vert dt <1$$