Пересечение луча и точки на окружности

[drug]

Всем здравствуйте.
Есть окружность и пересекающая ее прямая. Из центра окружности проведен луч и он вращается вокруг ее центра, а по по прямой перемещается точка. В определенные моменты времени луч пересекает прямую в данной точке (в общем случае может и не пересекать). Нужно найти моменты времени, когда это происходит. Численно понятно как решать задачу. А вот аналитически не получается найти решение. Пробовал использовать тригонометрию, но школьного курса явно не хватает. Недавно пришла в голову мысль попробовать использовать комплексные числа, получилось уравнение типа:
$re^{\varphi t i} = \xi_0 + u t e^{\alpha i}$,
где слева уравнение окружности радиуса $r$, $\varphi$ скорость вращения, а справа уравнение прямой, проходящей через точку $\xi_0$ под углом $\alpha$ к оси абсцисс, $u$ скорость перемещения точки по прямой. На этом мои потуги завершились и как выразить $t$ я пока не представляю. Сам я вообще не математик, задача больше из интереса, так как поначалу показалась элементарной, а вышло что совсем не так. Не исключаю, что это уже давно известная задача и/или что я вообще не туда копаю, если кто сможет сориентировать буду признателен.

[slavav]

После того как вы перешли к формулам у вас исчезло понятие луча. Формула читается так: есть точка на окружности, есть точка на прямой, найти момент времени когда они совпадают. Я правильно понял?

[Igrickiy(senior)]

drug в сообщении #1365825 писал(а):

Численно понятно как решать задачу.

А не поделитесь, как Вы решаете её численно.

slavav в сообщении #1365829 писал(а):

После того как вы перешли к формулам у вас исчезло понятие луча.

Можно аргументировать исчезновение???

[slavav]

Igrickiy(senior) в сообщении #1365831 писал(а):

slavav в сообщении #1365829 писал(а):

После того как вы перешли к формулам у вас исчезло понятие луча.

Можно аргументировать исчезновение???

Если вопрос ко мне, то в формуле я читаю $r$ как константу - радиус окружности. То есть точка на окружности фиксированного радиуса.
Вообще исходная формулировка задачи не ясна. Если говорить про окружность, то зачем луч? А если речь идёт о точке на луче, то зачем упоминать окружность?

[drug]

slavav в сообщении #1365829 писал(а):

После того как вы перешли к формулам у вас исчезло понятие луча. Формула читается так: есть точка на окружности, есть точка на прямой, найти момент времени когда они совпадают. Я правильно понял?

Да, правильно. С формулировкой может быть проблема, потому что по мере изучения материала я прямо понял что я совсем не математик. Про луч я для наглядности упомянул.

Igrickiy(senior) в сообщении #1365831 писал(а):

А не поделитесь, как Вы решаете её численно.

Имея два уравнения в параметрической форме я просто пробегаю интервал $t_0..t_1$, где $t_0$ и $t_1$ это моменты времени пересечения прямой и окружности. Если центр окружности взять за центр системы координат, а прямую перпендикулярную заданной прямой взять за ось $X$, то точки пересечения можно найти как $x = d, y = \pm\sqrt{(r^2 - d^2)}$, где $d$ - расстояние от прямой до центра окружности, $r$ - радиус окружности.
Координаты точки на прямой:
$x = x_0 + v_x t$
$y = y_0 + v_y t$,
$x_0, y_0$ - координаты первой точки пересечения (она по сути может быть любой из двух)
$v_x, v_y$ - это компоненты скорости перемещения точки по прямой
Координаты точки на окружности будут:
$x = r \cos(\varphi t)$
$y = r \sin(\varphi t)$,
где $r$ - радиус окружности, $\varphi$- угловая скорость точки на окружности
Отсюда задав фиксированное $t$ я нахожу расстояние между точкой на прямой и точкой на окружности, как только оно становится меньше заданного порога данное значение $t$ фиксируется как момент их совпадения. В общих чертах так получается.
Я понимаю, что нужно просто приравнять эти уравнения и решить систему, но не получилось. Меня ставит в тупик то, что параметр $t$ в уравнении точки на прямой это просто множитель, а в уравнении точки на окружности это аргумент тригонометрической функции (или степенной показатель).

[drug]

slavav в сообщении #1365835 писал(а):

Если говорить про окружность, то зачем луч? А если речь идёт о точке на луче, то зачем упоминать окружность?

Я банально опечатался, если вы про название темы, должно было быть "Пересечение луча и точки на прямой", хотя все равно не совсем правильно.

[Lia]

drug
Вы уже минимум три разные задачи сформулировали.
Так в чем задача - найти точку(-и) пересечения заданной прямой и заданной окружности?
А ползающая точка все-таки есть или ее нету?

И формулы оформляйте, пожалуйста, аккуратнее.

[drug]

Lia в сообщении #1365911 писал(а):

Вы уже минимум три разные задачи сформулировали.

Это плохо, так как задача одна на самом деле

Lia в сообщении #1365911 писал(а):

Так в чем задача - найти точку(-и) пересечения заданной прямой и заданной окружности?
А ползающая точка все-таки есть или ее нету?

Попробую от простого к сложному пойти.
1) У нас есть окружность и прямая ее пересекающая. Тут все понятно, нашли точки пересечения.
2) Теперь берем и проводим луч из центра окружности, пересекающий нашу прямую и находим эту точку пересечения - тоже ничего сложного.
3) По прямой перемещается точка, нужно найти момент времени когда она совпадает с точкой пересечения луча и прямой. Зная точки пересечения прямой и окружности задаем прямую в параметрическом виде и выводим $t$ - оно у нас только в одной части уравнения.
4) А теперь еще и заставляем луч вращаться вокруг центра окружности с заданной угловой скоростью. Т.е. у нас движется не только точка на прямой из п.3, но и точка пересечения прямой и луча из п.2 По прежнему нужно найти момент времени когда эти две точки совпадают. Здесь уже у меня тупик. $t$ с двух сторон уравнения - уравнения вида $\cos \varphi t = t$, которое вроде как аналитически не решается. Я попробовал использовать комплексные числа чтобы уйти от тригонометрии, но там получается уравнение виде $e^{\varphi t} = t$, что по сути одно и то же. Есть советы использовать ряды, метод Ньютона, но это все численное решение, аппроксимация. А я хотел именно аналитическое решение этой задачи.

Lia в сообщении #1365911 писал(а):

И формулы оформляйте, пожалуйста, аккуратнее.

Вы мне скажите что не так, я обязательно исправлю.

[Lia]

Так. Давайте я напишу, а Вы скажете - Вы это хотели спросить или нет.

На плоскости вокруг точки вращается луч, выходящий из этой точки. По некоторой прямой ползет точка с постоянной скоростью. В какой момент времени луч наедет на точку?

Оно?

Если оно, скажите, какой момент времени считать нулем. Откуда засекать-то.

[drug]

Lia в сообщении #1365933 писал(а):

На плоскости вокруг точки вращается луч, выходящий из этой точки. По некоторой прямой ползет точка с постоянной скоростью. В какой момент времени луч наедет на точку?

Оно?

Оно

Lia в сообщении #1365933 писал(а):

Если оно, скажите, какой момент времени считать нулем. Откуда засекать-то.

Прежде чем наехать на движущуюся точку луч в начале обязательно наедет на точку (одну из) пересечения прямой с окружность. Вот это время и можно брать за точку отсчета. Вот почему окружность я упоминал.

Если без окружности как в Вашей постановке задачи то за 0 можно взять момент времени когда луч совпадает с осью абсцисс.

[slavav]

Может быть корректнее говорить о пересечении вращающегося отрезка длиной $r$ с прямой (с точкой движущейся по прямой)?

[drug]

slavav в сообщении #1365968 писал(а):

Может быть корректнее говорить о пересечении вращающегося отрезка длиной $r$ с прямой (с точкой движущейся по прямой)?

Да, отрезок более корректная формулировка

[wrest]

drug
Думаю, пора вам нарисовать картинку: кто на ком стоял?
Ибо луч, отрезок и прямая это три большие разницы.

Есличо, вот вам терминологический справочник.
Отрезок соединяющий две различных точки окружности, называют "хорда", а прямую, содержащую этот отрезок, называют "секущая прямая".
Отрезок, один конец которого лежит в центре окружности, а другой на самой окружности, называют "радиус окружности". Хорду, содержащую какой-либо радиус окружности, называют "диаметр окружности".
Теперь, зная все эти термины, вы сможете объяснить что и как? Ну и картинку, конечно, надо.