Гипергеометрическая функция

[mr.daos]

Добрый день. Подскажите, чему равен интеграл от гипергеометрической функции $F(-n, b; b; x^2)$? Смущает наличие второй степени у икса. Также буду признателен литературе по этой теме.

[Lia]

Какой интеграл?

[mr.daos]

Неопределённый.

[Lia]

А зачем Вы функцию в таком сложном виде пишете? Чтобы страшнее было? :)

[mr.daos]

Lia в сообщении #1365648 писал(а):

А зачем Вы функцию в таком сложном виде пишете? Чтобы страшнее было? :)

Я пришёл к такому виду от функции $(1-x^2)^n$, от которой надо взять интеграл. В погоне за замкнутой формой больше ничего проще не придумал, как выразить через спецфункцию:(

[Lia]

Ну я и говорю. ))
Чтоб страшнее было.

А скобочки раскрыть - не?

-- 03.01.2019, 16:30 --

Если бы у Вас был определенный интеграл, то можно бы было много других путей выдумывать, конечно. Но он неопределенный, Вы говорите.

[Igrickiy(senior)]

mr.daos в сообщении #1365642 писал(а):

Добрый день. Подскажите, чему равен интеграл от гипергеометрической функции $F(-n, b; b; x^2)$? Смущает наличие второй степени у икса. Также буду признателен литературе по этой теме.

Справка:
$F(-n, b; b; x^2)=(1-x^2)^n$
Если обозначить
$I_n=\int{(1-x^2)^n}dx$,
то интегрированием по частям получим (если не ошибся) рекуррентную формулу:
$(2n+1)I_n=x(1-x^2)^n+2nI_{n-1}$
И понеслись...

[Lia]

Igrickiy(senior) в сообщении #1365652 писал(а):

Справка:

Igrickiy(senior)
ТС это знает.

[mr.daos]

Раскрывал через бином и почленно интегрировал, получал ответ в виде ряда, это понятно.
Тут у меня на самом деле изначально интеграл был определённый, что то вроде

$$\int_0^\alpha (1-x^2)^n dx$$

где $|\alpha|<1$ и $|x|<1$.

[Lia]

mr.daos в сообщении #1365655 писал(а):

Раскрывал через бином и почленно интегрировал, получал ответ в виде ряда, это понятно.

Ряда, который многочлен.
Лучше не бывает, не надейтесь.

mr.daos в сообщении #1365655 писал(а):

Тут у меня на самом деле изначально интеграл был определённый, что то вроде

Интеграл с переменным верхним пределом - та же первообразная (одна из), и если только Вы потом ее дифференцировать не собираетесь, то это не влияет на ход решения.

Так что все, что Вам было понятно - оно и есть правильно. А что Вас смущает?

[Igrickiy(senior)]

Lia в сообщении #1365653 писал(а):

ТС это знает.

Не заметил, пока писал...

[mr.daos]

Теперь сомнений нигде нет. Просто надеялся, что есть какое выражение иное, чем через ряд, но, видимо, все остальное только усложняет.

[Lia]

mr.daos в сообщении #1365661 писал(а):

чем через ряд

Многочлен.

[mr.daos]

Lia в сообщении #1365663 писал(а):

mr.daos в сообщении #1365661 писал(а):

чем через ряд

Многочлен.

Да, конечно.