2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Триго-экспо-гралы и немного рекурсии
Сообщение31.12.2018, 17:13 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Вычислите:
1) $\int e^{\cos x}\cos(nx+\sin x)dx$
Где $n$ - натуральное число.
2) $\sqrt{2}\sqrt{\int_0^{2019}\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{\int_0^x\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{\int_0^x\sqrt[5]{5}}...}}dx$

(Подсказка)

1. Рассмотрите случай $n=1$
2. Рассмотрите "частичные интегралы"


Докажите или опровергните:
3)$\int _{-1}^1\frac{e^y}{y}dy-\int _{-1}^1\frac{e^y}{y^2}dy=2+\frac{1}{e}$

(Подсказка)

Точно не помню, но вроде это верное тождество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Триго-экспо-гралы и немного рекурсии
Сообщение31.12.2018, 17:41 


05/09/16
6450
1) Ответ находит вольфрам альфа. Не прямо так в общем виде, но ответ получить можно.
2) Лично я не понял задачу, кто на ком стоял. Возможно, это мое непонимание а задача корректная.
3) А оно не расходится разве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Триго-экспо-гралы и немного рекурсии
Сообщение02.01.2019, 17:42 
Заслуженный участник


28/04/09
1880
JohnDou в сообщении #1365099 писал(а):
1) $\int e^{\cos x}\cos(nx+\sin x)dx$
$$\int e^{\cos x}\cos(nx+\sin x)\,dx=\operatorname{Re} I_n,\ \text{где}\ I_n=\int e^{e^{ix}+inx}\,dx$$Интегрируя $I_n$ по частям, имеем:$$I_n=\frac{1}{in}\left(e^{e^{ix}+inx}-iI_{n+1}\right)\Rightarrow I_{n+1}=-\left(nI_n+ie^{e^{ix}+inx}\right), I_1=-ie^{e^{ix}}$$Покажем, что$$I_n=(-1)^n (n-1)!\cdot ie^{e^{ix}}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot\frac{e^{ikx}}{k!}\right)$$При $\tilde n=1$ формула даёт верный результат (если считать, что $\sum\limits_{k=1}^{n-1}\cdot = 0$ при $n=1$), при $\tilde n = n+1$ имеем:
\begin{align*}I_{n+1}&=-n\cdot (-1)^n (n-1)!\cdot ie^{e^{ix}}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot\frac{e^{ikx}}{k!}\right)-ie^{e^{ix}+inx}=\\&=(-1)^{n+1}\cdot  n!\cdot ie^{e^{ix}}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot\frac{e^{ikx}}{k!}+(-1)^n\cdot\frac{e^{inx}}{n!}\right)\ \text{--- ч.т.д.}\end{align*}
\begin{align*}\operatorname{Re}I_n&=\operatorname{Im}(-1)^{n+1} (n-1)! \left(e^{e^{ix}}+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot\frac{e^{e^{ix}+ikx}}{k!}\right)=\\&=(-1)^{n+1} (n-1)! \cdot e^{\cos x}\left(\sin(\sin x)+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot\frac{\sin(\sin x+kx)}{k!}\right)\end{align*}

 Профиль  
                  
 
 Re: Триго-экспо-гралы и немного рекурсии
Сообщение03.01.2019, 12:52 
Заслуженный участник


12/08/10
1022
В 2) $dx$ стоят неправильно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group