Триго-экспо-гралы и немного рекурсии

[JohnDou]

Вычислите:
1) $\int e^{\cos x}\cos(nx+\sin x)dx$
Где $n$ - натуральное число.
2) $\sqrt{2}\sqrt{\int_0^{2019}\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{\int_0^x\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{\int_0^x\sqrt[5]{5}}...}}dx$

(Подсказка)

1. Рассмотрите случай $n=1$
2. Рассмотрите "частичные интегралы"

Докажите или опровергните:
3)$\int _{-1}^1\frac{e^y}{y}dy-\int _{-1}^1\frac{e^y}{y^2}dy=2+\frac{1}{e}$

(Подсказка)

Точно не помню, но вроде это верное тождество.

[wrest]

1) Ответ находит вольфрам альфа. Не прямо так в общем виде, но ответ получить можно.
2) Лично я не понял задачу, кто на ком стоял. Возможно, это мое непонимание а задача корректная.
3) А оно не расходится разве?

[EtCetera]

JohnDou в сообщении #1365099 писал(а):

1) $\int e^{\cos x}\cos(nx+\sin x)dx$

$$\int e^{\cos x}\cos(nx+\sin x)\,dx=\operatorname{Re} I_n,\ \text{где}\ I_n=\int e^{e^{ix}+inx}\,dx$$

Интегрируя $I_n$ по частям, имеем:

$$I_n=\frac{1}{in}\left(e^{e^{ix}+inx}-iI_{n+1}\right)\Rightarrow I_{n+1}=-\left(nI_n+ie^{e^{ix}+inx}\right), I_1=-ie^{e^{ix}}$$

Покажем, что

$$I_n=(-1)^n (n-1)!\cdot ie^{e^{ix}}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot\frac{e^{ikx}}{k!}\right)$$

При $\tilde n=1$ формула даёт верный результат (если считать, что $\sum\limits_{k=1}^{n-1}\cdot = 0$ при $n=1$), при $\tilde n = n+1$ имеем:
\begin{align*}I_{n+1}&=-n\cdot (-1)^n (n-1)!\cdot ie^{e^{ix}}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot\frac{e^{ikx}}{k!}\right)-ie^{e^{ix}+inx}=\\&=(-1)^{n+1}\cdot n!\cdot ie^{e^{ix}}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot\frac{e^{ikx}}{k!}+(-1)^n\cdot\frac{e^{inx}}{n!}\right)\ \text{--- ч.т.д.}\end{align*}
\begin{align*}\operatorname{Re}I_n&=\operatorname{Im}(-1)^{n+1} (n-1)! \left(e^{e^{ix}}+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot\frac{e^{e^{ix}+ikx}}{k!}\right)=\\&=(-1)^{n+1} (n-1)! \cdot e^{\cos x}\left(\sin(\sin x)+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot\frac{\sin(\sin x+kx)}{k!}\right)\end{align*}

[Null]

В 2) $dx$ стоят неправильно