Предлагаю список проблем, которые наука 20-го века оставляет науке 21-го
А Гильберт с его проблемами математики тут какое отношение имеет?
1) Есть ли в природе бесконечность и как это проверить?
Что в данном случае "природа"? Объективная реальность? И Вы про бесконечность в математике? Ну так математические объекты в природе не существуют, если, конечно, не расширять понятие "природа", включая в это понятие психику и идеальное в ней.
2) Есть ли в природе число
и как это проверить?
См. ответ выше.
3) Почему время идёт в одну сторону, хотя все законы физики симметричны по времени?
Многократно обсуждалось на форуме. Думаю, что тут Вам ответят люди более компетентные, чем я.
4) Зачем люди спят и почему при этом снятся сны?
Вы ждете короткого универсального ответа, хотя этими вопросами занимается целая наука - сомнология, а еще частично психология и психотерапия. Можете посмотреть для начала кое-какую литературу в этой сфере:
Зачем мы спим. Новая наука о сне и сновидениях. Мэттью Уолкер.
Основы сомнологии. Физиология и нейрохимия цикла бодрствование-сон. Владимир Ковальзон.
Сон. Почему мы спим и как нам это лучше всего удается. Петер Шпорк.
5) Почему древние греки были гениальными, а нынешние нет?
Для начала нужно доказать соответствующее утверждение.
Не связано ли это с гомосексуализмом?
Каким образом это может быть связано с гомосексуальностью (термин "гомосексуализм" некорректен)? Гомосексуальная ориентация, как и любая иная сексуальная ориентация, по современным представлениям сексологии носит врожденный характер, а процент геев в любой популяции примерно постоянен (могут незначительные колебания, связанные с миграциями, уровнем стресса в обществе и т.д.). Касательно интеллекта и сексуальной ориентации:
Интеллект и гомосексуальностьКороче говоря, у Вас какие-то неинтересные вопросы. Несите новые.