2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 15:53 
Аватара пользователя


22/06/12
1254
Читаю Мессиа А. Квантовая механика. Том 1, глава 5, параграф 9 "Разложение по собственным функциям в общем случае. Условие замкнутости".

Вижу такой пассаж:
Цитата:
Пусть $\psi(\nu, q)$ --- собственная функция непрерывного спектра, принадлежащая собственному числу $a(\nu)$. Это непрерывная функция параметра $\nu$, норма которой, очевидно, бесконечна.


А откуда это очевидно? Пусть есть параметр $\nu \in [0, 1]$ такой, что $\mathcal H = \mathcal H(\nu)$, $\lambda = \lambda(\nu): \lambda(0) = \lambda_0, \lambda(1) = \lambda_1$ и все $\lambda(\nu)$ лежат в одной полосе непрерывного спектра. Мы знаем, что если оператор самосопряжённый, то тождественно
$$
(\lambda(\nu) - \lambda(\nu')) \left \langle \psi(\nu) \middle| \psi(\nu') \right \rangle = 0.
$$
Если в.ф. зависят от $\nu$ непрерывно, то ортогональность должна сохраняться и при $\nu' \to \nu$. И как тут быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8561
Hogtown
StaticZero
Во-первых тут физический сленг. Математики не станут называть собственной функцией нечто с бесконечной нормой. И соответственно, называть собственным числом (или значением) соответствующую точку спектра. Разве что добавят прилагательное "обобщенная/обобщенное".

Ну, и как говорили в Одессе (согласно беллетристике) "у воров не как у фраеров". А именно: если там бесконечная норма, то скалярное произведение тоже понимается в обобщенном смысле и о никакой непрерывности заикаться не стоит. Например, если $$\psi_p(x) = e^{ipx}$,то $\langle \psi_p, \psi_{p'}\rangle = (2\pi )^n \delta (p-p')$$
опять-таки в обобщенном смысле, и никакой непрерывности нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 16:34 
Аватара пользователя


22/06/12
1254
Red_Herring, спасибо, тогда пойду ещё думать

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 17:00 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
Одно замечание по поводу "непрерывного" и непрерывного спектра. Поскольку раздел физический, стоит это отметить.
Пусть $H$ -- гильбертово пространство, полученное пополнением множества $F=\{w\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{C})\mid w(t)e^{-t^2},\,\dot w(t)e^{-t^2}\in L^\infty(\mathbb{R})\}$
по норме скалярного произведения
$$(u,v)=\int_{\mathbb{R}}u(t)\overline {v(t)}e^{-t^4}dt.$$
Так вот у оператора $$A=\frac{d}{dt},\quad D(A)=F$$ вся комплексная плоскость является точечным спектром:
$$Ae^{\lambda t}=\lambda e^{\lambda t},\quad \lambda\in\mathbb{C}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8561
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1365097 писал(а):
вся комплексная плоскость является дискретным спектром:
Точечным--да, дискретным––нет. Дискретный спектр это совокупность собственных значений конечной кратности, причем изолированных от остального спектра, который называется существенным. Впрочем, понятие дискретного спектра вводится обычно только для самосопряженных операторов. Бирман & Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, стр 200.

Например, у 2D шредингера с постоянным магнитным полем (и без электрического поля) все с.з. (уровни Ландау) имеют бесконечную кратность. У оператора $-\partial_x^2- x^2 \partial_y^2$ в $\Omega=\{ (x,y)\colon -\infty<x<\infty, -\pi <y<\pi \}$ с граничным условием Неймана в непрерывный спектр $ [0,\infty)$ будут вложены с.з. $\{m(2n+1)\colon m=1,2,\ldots; n= 0,1,2,\ldots\}$; пространство $L^2(\Omega)$; оператор определяется через квадратичную форму. Ни те, ни другие не относят к дискретному спектру.

Причина: при малом возмущении оператора точки дискретного спектр сдвигаются, распадаются (если кратные), но все равно все культурно. А прочие с.з. могут вытворить много чего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 17:50 
Аватара пользователя


31/08/17
30/01/19
1238
Red_Herring в сообщении #1365102 писал(а):
Точечным--да, дискретным––нет

Ну что об этом толковать? Это было поправлено раньше чем появился ваш пост

-- 31.12.2018, 19:25 --

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1365102 писал(а):
Впрочем, понятие дискретного спектра вводится обычно только для самосопряженных операторов. Бирман & Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, стр 200.

Да, широка и обильна линейная наука. Вот еще я перед Данфордом-Шварцем трепещу... Но для нелинейных задач линейную науку достаточно знать в объеме учебника Иосиды, по моим наблюдениям во всяком случае. Да и гильбертовы пространства там уже такой ключевой роли не играют. А так,да, спасибо за коммент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение01.01.2019, 02:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8561
Hogtown
Red_Herring в сообщении #1365102 писал(а):
А прочие с.з. могут вытворить много чего.

Например, собственное значение, вложенное в непрерывный спектр, неустойчиво и может банальным образом исчезнуть. Существуют случаи, когда доказано, что таковых с.з. нет--и случаи, когда это неизвестно.

Изолированное бесконечнократное собственное значение может распасться на бесконечную последовательность с.з. имеющих предел, или плотных на каком-то интервале, или развернуться в непрерывный спектр.

Тут подробное обсуждение типов спектров

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group