Непрерывный спектр

[StaticZero]

Читаю Мессиа А. Квантовая механика. Том 1, глава 5, параграф 9 "Разложение по собственным функциям в общем случае. Условие замкнутости".

Вижу такой пассаж:

Цитата:

Пусть $\psi(\nu, q)$ --- собственная функция непрерывного спектра, принадлежащая собственному числу $a(\nu)$. Это непрерывная функция параметра $\nu$, норма которой, очевидно, бесконечна.

А откуда это очевидно? Пусть есть параметр $\nu \in [0, 1]$ такой, что $\mathcal H = \mathcal H(\nu)$, $\lambda = \lambda(\nu): \lambda(0) = \lambda_0, \lambda(1) = \lambda_1$ и все $\lambda(\nu)$ лежат в одной полосе непрерывного спектра. Мы знаем, что если оператор самосопряжённый, то тождественно

$$ (\lambda(\nu) - \lambda(\nu')) \left \langle \psi(\nu) \middle| \psi(\nu') \right \rangle = 0. $$

Если в.ф. зависят от $\nu$ непрерывно, то ортогональность должна сохраняться и при $\nu' \to \nu$. И как тут быть?

[Red_Herring]

StaticZero
Во-первых тут физический сленг. Математики не станут называть собственной функцией нечто с бесконечной нормой. И соответственно, называть собственным числом (или значением) соответствующую точку спектра. Разве что добавят прилагательное "обобщенная/обобщенное".

Ну, и как говорили в Одессе (согласно беллетристике) "у воров не как у фраеров". А именно: если там бесконечная норма, то скалярное произведение тоже понимается в обобщенном смысле и о никакой непрерывности заикаться не стоит. Например, если

$$\psi_p(x) = e^{ipx}$,то $\langle \psi_p, \psi_{p'}\rangle = (2\pi )^n \delta (p-p')$$

опять-таки в обобщенном смысле, и никакой непрерывности нет.

[StaticZero]

Red_Herring, спасибо, тогда пойду ещё думать

[pogulyat_vyshel]

Одно замечание по поводу "непрерывного" и непрерывного спектра. Поскольку раздел физический, стоит это отметить.
Пусть $H$ -- гильбертово пространство, полученное пополнением множества $F=\{w\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{C})\mid w(t)e^{-t^2},\,\dot w(t)e^{-t^2}\in L^\infty(\mathbb{R})\}$
по норме скалярного произведения

$$(u,v)=\int_{\mathbb{R}}u(t)\overline {v(t)}e^{-t^4}dt.$$

Так вот у оператора

$$A=\frac{d}{dt},\quad D(A)=F$$

вся комплексная плоскость является точечным спектром:

$$Ae^{\lambda t}=\lambda e^{\lambda t},\quad \lambda\in\mathbb{C}$$

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1365097 писал(а):

вся комплексная плоскость является дискретным спектром:

Точечным--да, дискретным––нет. Дискретный спектр это совокупность собственных значений конечной кратности, причем изолированных от остального спектра, который называется существенным. Впрочем, понятие дискретного спектра вводится обычно только для самосопряженных операторов. Бирман & Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, стр 200.

Например, у 2D шредингера с постоянным магнитным полем (и без электрического поля) все с.з. (уровни Ландау) имеют бесконечную кратность. У оператора $-\partial_x^2- x^2 \partial_y^2$ в $\Omega=\{ (x,y)\colon -\infty<x<\infty, -\pi <y<\pi \}$ с граничным условием Неймана в непрерывный спектр $ [0,\infty)$ будут вложены с.з. $\{m(2n+1)\colon m=1,2,\ldots; n= 0,1,2,\ldots\}$; пространство $L^2(\Omega)$; оператор определяется через квадратичную форму. Ни те, ни другие не относят к дискретному спектру.

Причина: при малом возмущении оператора точки дискретного спектр сдвигаются, распадаются (если кратные), но все равно все культурно. А прочие с.з. могут вытворить много чего.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1365102 писал(а):

Точечным--да, дискретным––нет

Ну что об этом толковать? Это было поправлено раньше чем появился ваш пост

-- 31.12.2018, 19:25 --

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1365102 писал(а):

Впрочем, понятие дискретного спектра вводится обычно только для самосопряженных операторов. Бирман & Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, стр 200.

Да, широка и обильна линейная наука. Вот еще я перед Данфордом-Шварцем трепещу... Но для нелинейных задач линейную науку достаточно знать в объеме учебника Иосиды, по моим наблюдениям во всяком случае. Да и гильбертовы пространства там уже такой ключевой роли не играют. А так,да, спасибо за коммент.

[Red_Herring]

Red_Herring в сообщении #1365102 писал(а):

А прочие с.з. могут вытворить много чего.

Например, собственное значение, вложенное в непрерывный спектр, неустойчиво и может банальным образом исчезнуть. Существуют случаи, когда доказано, что таковых с.з. нет--и случаи, когда это неизвестно.

Изолированное бесконечнократное собственное значение может распасться на бесконечную последовательность с.з. имеющих предел, или плотных на каком-то интервале, или развернуться в непрерывный спектр.

Тут подробное обсуждение типов спектров