2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 15:53 
Аватара пользователя


22/06/12
1406
Читаю Мессиа А. Квантовая механика. Том 1, глава 5, параграф 9 "Разложение по собственным функциям в общем случае. Условие замкнутости".

Вижу такой пассаж:
Цитата:
Пусть $\psi(\nu, q)$ --- собственная функция непрерывного спектра, принадлежащая собственному числу $a(\nu)$. Это непрерывная функция параметра $\nu$, норма которой, очевидно, бесконечна.


А откуда это очевидно? Пусть есть параметр $\nu \in [0, 1]$ такой, что $\mathcal H = \mathcal H(\nu)$, $\lambda = \lambda(\nu): \lambda(0) = \lambda_0, \lambda(1) = \lambda_1$ и все $\lambda(\nu)$ лежат в одной полосе непрерывного спектра. Мы знаем, что если оператор самосопряжённый, то тождественно
$$
(\lambda(\nu) - \lambda(\nu')) \left \langle \psi(\nu) \middle| \psi(\nu') \right \rangle = 0.
$$
Если в.ф. зависят от $\nu$ непрерывно, то ортогональность должна сохраняться и при $\nu' \to \nu$. И как тут быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9035
Hogtown
StaticZero
Во-первых тут физический сленг. Математики не станут называть собственной функцией нечто с бесконечной нормой. И соответственно, называть собственным числом (или значением) соответствующую точку спектра. Разве что добавят прилагательное "обобщенная/обобщенное".

Ну, и как говорили в Одессе (согласно беллетристике) "у воров не как у фраеров". А именно: если там бесконечная норма, то скалярное произведение тоже понимается в обобщенном смысле и о никакой непрерывности заикаться не стоит. Например, если $$\psi_p(x) = e^{ipx}$,то $\langle \psi_p, \psi_{p'}\rangle = (2\pi )^n \delta (p-p')$$
опять-таки в обобщенном смысле, и никакой непрерывности нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 16:34 
Аватара пользователя


22/06/12
1406
Red_Herring, спасибо, тогда пойду ещё думать

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 17:00 
Аватара пользователя


31/08/17
1477
Одно замечание по поводу "непрерывного" и непрерывного спектра. Поскольку раздел физический, стоит это отметить.
Пусть $H$ -- гильбертово пространство, полученное пополнением множества $F=\{w\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{C})\mid w(t)e^{-t^2},\,\dot w(t)e^{-t^2}\in L^\infty(\mathbb{R})\}$
по норме скалярного произведения
$$(u,v)=\int_{\mathbb{R}}u(t)\overline {v(t)}e^{-t^4}dt.$$
Так вот у оператора $$A=\frac{d}{dt},\quad D(A)=F$$ вся комплексная плоскость является точечным спектром:
$$Ae^{\lambda t}=\lambda e^{\lambda t},\quad \lambda\in\mathbb{C}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9035
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1365097 писал(а):
вся комплексная плоскость является дискретным спектром:
Точечным--да, дискретным––нет. Дискретный спектр это совокупность собственных значений конечной кратности, причем изолированных от остального спектра, который называется существенным. Впрочем, понятие дискретного спектра вводится обычно только для самосопряженных операторов. Бирман & Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, стр 200.

Например, у 2D шредингера с постоянным магнитным полем (и без электрического поля) все с.з. (уровни Ландау) имеют бесконечную кратность. У оператора $-\partial_x^2- x^2 \partial_y^2$ в $\Omega=\{ (x,y)\colon -\infty<x<\infty, -\pi <y<\pi \}$ с граничным условием Неймана в непрерывный спектр $ [0,\infty)$ будут вложены с.з. $\{m(2n+1)\colon m=1,2,\ldots; n= 0,1,2,\ldots\}$; пространство $L^2(\Omega)$; оператор определяется через квадратичную форму. Ни те, ни другие не относят к дискретному спектру.

Причина: при малом возмущении оператора точки дискретного спектр сдвигаются, распадаются (если кратные), но все равно все культурно. А прочие с.з. могут вытворить много чего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение31.12.2018, 17:50 
Аватара пользователя


31/08/17
1477
Red_Herring в сообщении #1365102 писал(а):
Точечным--да, дискретным––нет

Ну что об этом толковать? Это было поправлено раньше чем появился ваш пост

-- 31.12.2018, 19:25 --

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1365102 писал(а):
Впрочем, понятие дискретного спектра вводится обычно только для самосопряженных операторов. Бирман & Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, стр 200.

Да, широка и обильна линейная наука. Вот еще я перед Данфордом-Шварцем трепещу... Но для нелинейных задач линейную науку достаточно знать в объеме учебника Иосиды, по моим наблюдениям во всяком случае. Да и гильбертовы пространства там уже такой ключевой роли не играют. А так,да, спасибо за коммент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывный спектр
Сообщение01.01.2019, 02:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9035
Hogtown
Red_Herring в сообщении #1365102 писал(а):
А прочие с.з. могут вытворить много чего.

Например, собственное значение, вложенное в непрерывный спектр, неустойчиво и может банальным образом исчезнуть. Существуют случаи, когда доказано, что таковых с.з. нет--и случаи, когда это неизвестно.

Изолированное бесконечнократное собственное значение может распасться на бесконечную последовательность с.з. имеющих предел, или плотных на каком-то интервале, или развернуться в непрерывный спектр.

Тут подробное обсуждение типов спектров

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimirkey


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group