Да, правильно. Но Вы неаккуратно изложили свое решение. Вот как, например, можно писать более аккуратно.
Пусть
есть отображение, заданное правилом
. Тогда
отображает
на кривую
, так как
Геометрически,
--- это точка пересечения кривой с прямой
. Отметим, что значениям
соответствует одна и та же точка кривой, а именно
.
Очевидно, отображение
является рациональным отображением
на
(поскольку
имеет смысл во всех точках кривой, кроме
). Композиция
--- тождественное рациональное отображение на
, поскольку
С другой стороны, если
--- точка на кривой, отличная от
, то
Но
значит
. Поэтому
--- тождественное рациональное отображение кривой
на себя. Таким образом,
и
--- взаимно обратные рациональные отображения.
Кроме того, Вы набрали текст очень неаккуратно в смысле ТеХа. Но это Вы сами разберитесь.
Дальше не совсем понятно, что делать.
Во-первых, я так и не уверен до конца, имеются в виду в задаче бирациональные автоморфизмы кривой, или же только регулярные (определенные всюду). Если буквально по тексту, то первое, но по "педагогической логике" ситуации возможно
второе, но это не было явно сформулировано. Будем считать, что первое (второе из первого можно вывести, коли с первым разберетесь).
Во-вторых, ход мысли дальше не такой уж сложный, но предполагается, неявно, владение понятиями, о которых явно в параграфе не писалось. На самом деле, суть задачи категорная, и можно ее выразить так: "группы автоморфизмов изоморфных объектов изоморфны". Вот набросок дальнейших действий.
1) Простейшее знакомство с категориями по 1-й главе Ленга (всю главу для этого читать не обязательно).
2) Продумать следующее: множество неприводимых плоских кривых и
непостоянных рациональных отображений между ними --- категория. (Почему нельзя в это определение включать постоянные отображения ? подумайте).
3) Пусть
--- произвольная категория. Для
пусть
--- множество
-автоморфизмов, т.е.
-изоморфизмов объекта
на себя.
Тогда имеет место следующее утверждение:
Предложение. Если , --- изоморфизм, то группы и изоморфны. А именно, соответствие --- изоморфизм между ними. 4) Каков отсюда вывод относительно группы бирациональных автоморфизмов кривой
?
(На самом деле, конечно, дойти до этого решения можно, и не зная, что такое категории, что видимо и предполагалось. Но я думаю, что лучше все-таки знать.)