вопрос из Шафаревича АГ- 1.10 - Найти все автомофизмы кривой

[Max999]

Добрый день,

не могу до конца решить задачу (Шафаревич АГ- 1.10).

Найти все автомофизмы кривой: $y^2 = x^3 + x^2$.

кривая имеет параметризаию: $(t^2-1,t^3-t)$ и осбую точку $(0,0)$.

Получается, что +1 и -1 отображаются в особую точку $(0,0)$.

Тогда автоморфизм должен переводить +1 в -1 (или наоборот), или оставлять эти точки неподвижными.

Никак не могу найти подходящее отображение. Был бы очень благодарен, если бы кто помог найти такие автомофизмы.

[vpb]

Ну, скажем, этот автоморфизм виден сразу (посмотрите на картинку)... Если не видите, попробуйте сделать следующее: выпишите в явном виде (через $x,y,t$ ) бирациональный изоморфизм $\alpha: X\longrightarrow {\bf A}^1$ нашей кривой $X$ на прямую, а потом возьмите композицию $\alpha^{-1}\circ\beta\circ\alpha$, где $\beta$ --- подходящий (какой именно ? он тоже очевиден) автоморфизм ${\bf A}^1$.

(Оффтоп)

А если вдруг вообще непонятно, о чем речь идет, тоже напишите...

[Max999]

спасибо за ответ,
я только начал изучение АГ с Шафаревича, наверное я не до конца понимаю, как получается изоморфизм, если 2 точки переходят в 0.

[vpb]

Max999 в сообщении #1363809 писал(а):

как получается изоморфизм, если 2 точки переходят в 0.

Бирациональный изоморфизм не обязан быть биективным или всюду определенным отображением. Например, дробно-линейные отображения прямой на себя --- они "не совсем отображения".

Я сейчас посмотрел в книжку, оказывается, там в задаче имеются в виду именно бирациональные автоморфизмы, а не только регулярные, как я думал. Это я к тому, что он не один нетривиальный получится, а их бесконечно много.

[Max999]

и как тогда решать? есть где нибудь примеры или описание?

[vpb]

Вот не знаю... "Руководств к решению задач по алгебраической геометрии", типа таких пособий для заочников по предмету "высшая математика", я не знаю. Есть более разжеванные книжки (Шафаревич не такая уж простая), но они на английском. Есть книжка W.Fulton, Algebraic curves. Попробуйте посмотреть. Еще, конечно, Литл-Кокс-ОШи, Идеалы, многообразия и алгоритмы, там очень разжевано. Но у них изложение уходит в сторону не так геометрии, как алгоритмов коммутативной алгебры.

А Вы можете написать рациональные отображения (а) прямой на нашу кривую, (б) наоборот, кривой $y^2=x^3+x^2$ на прямую ?

[vpb]

А, скажем, хотя бы по одному (не обязательно все!) отображению, как в пунктах (а) и (б), можете указать ?

-- 26.12.2018, 15:10 --

На русском есть еще две простых книжки: брошюра Острик-Цфасман, и М.Рид, АГ для всех.

[Max999]

надо пару дней все обдумать. Тогда отпишусь. На русском только Шафаревич нормальная книга.
Остальные читаю на английском. По АГ начал

вот неплохие ссылки по АГ, в том числе про бирациональные морфизмы:
https://ocw.mit.edu/courses/mathematics ... _notes.pdf
https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathm ... m-2014.pdf

[vpb]

Ну если Вы по английски можете читать, то будет естественным указать такую книгу: T.Garrity, R.Belshoff, et al. Algebraic geometry: a problem solving approach. Т.е. коллектив авторов, Алгебраическая геометрия в задачах. Там очень расслабленное изложение. Причем оно геометрически ориентированное, в отличие от Кокс-Литл_ОШи. И там же есть обзор другой учебной литературы, что тоже полезно.

[Max999]

я думаю решение такое.

проведем прямую через начало координат $y=tx$.
видим, что она пересекает кривую в 3-х точках,
дважды в началее координат. Параметризация: $(t^2-1,t^3-t)$.


Теперь надо найти автоморфизм на аффинной или проективной прямой,
которые оставляют на месте $\pm1$.
У Шафаревича в книге написано,бирац. автоморфизм проекивной прямой есть отображение:
$x \to \frac{ax+b}{cx+d}$

и автомофизм на проек. прямой имеет 2 неподвижные точки. Нам нужны $\pm1$.

Тогда это будут все автоморфизмы вида: $x \to \frac{ax+b}{cx+d}$, где $a=d, b=c$.

Или можно взять отображение этих точек в нуль и бесконечность, тогда $x\mapsto\lambda x$.
(По подсказке профессора Любина https://math.stackexchange.com)

[vpb]

Max999
То, что Вы написали, это еще не решение. Решение должно быть более связным, а у Вас несколько фраз, и по ним не понятно, достаточно ли Вы понимаете вопрос. Скажем, для ответа на экзамене это было бы недостаточно. Давайте Вы напишете сначала ответы на вопросы (а) и (б) выше. (Но если Вы сразу напишете решение в более-менее связном виде, тоже неплохо).

[Max999]

сначала ответы на вопросы (а) и (б).
Пусть отображение $F:\mathbb{A}^1\to \mathbb{A}^2$ есть морфизм, (прямой на кривую) так как
$(t(t^2-1))^2-(t^2-1)^3-(t^2-1)^2-(t^2-1)^2(t^2-(t^2-1)-1)=0$. Геометрически
$F(t)$ это пересечение точки кривой с прямой $y=tx$, за исключением 1 , -1.

$F(-1)=F(1)=(0,0)$. Тогда обратное отображение (кривой на прямую) получается:$t=y/x$.
Обратное отображение $F_1(x,y)=y/x$, это рациональное отображение, обратное к $F$.
рассмотрим композицию $(F_1 \cdot F)(t)=F_1(t^2-1,t(t^2-1))=t(t^2-1)\mathbb(t^2-1)=t$, t не равно 1 и -1.

Обратно, $(F \cdot F_1)(x,y)=((y/x)^2-1,(y/x)((y/x)^2-1))=(y^2-x^2/x^2, y(y^2-y^3)/x^2)=(x,y)$

(x,y) не равно (0,0).
Получили бирац. эквивалентность.

[vpb]

Да, правильно. Но Вы неаккуратно изложили свое решение. Вот как, например, можно писать более аккуратно.

Пусть $F\colon {\mathbb A}^1\longrightarrow {\mathbb A}^2$ есть отображение, заданное правилом $F(t)=(t^2-1, t(t^2-1))$. Тогда $F$ отображает ${\mathbb A}^1$ на кривую $X$, так как

$$y^2-x^3-x^2=(t(t^2-1))^2-(t^2-1)^3-(t^2-1)^2=(t^2-1)^2(t^2-(t^2-1)-1)=0.$$

Геометрически, $F(t)$ --- это точка пересечения кривой с прямой $y=tx$. Отметим, что значениям $t=1,-1$ соответствует одна и та же точка кривой, а именно $(0,0)$.

Очевидно, отображение $F_1(x,y)=y/x$ является рациональным отображением $X$ на ${\mathbb A}^1$ (поскольку $y/x$ имеет смысл во всех точках кривой, кроме $(0,0)$). Композиция $F_1\cdot F$ --- тождественное рациональное отображение на ${\mathbb A}^1$, поскольку

$$(F_1\cdot F)(t)=F_1(t(t^2-1),t^2-1)=t(t^2-1)/(t^2-1)=t.$$

С другой стороны, если $(x,y)$ --- точка на кривой, отличная от $(0,0)$, то

$$(F\cdot F_1)(x,y)=((y/x)^2-1, (y/x)((y/x)^2-1) ).$$

Но

$$(y/x)^2-1=y^2/x^2-1=(x^3+x^2)/x^2-1=x+1-1=x,$$

значит $(F\cdot F_1)(x,y)=(x, (y/x)x)=(x,y)$. Поэтому $F\cdot F_1$ --- тождественное рациональное отображение кривой $X$ на себя. Таким образом, $F$ и $F_1$ --- взаимно обратные рациональные отображения.

Кроме того, Вы набрали текст очень неаккуратно в смысле ТеХа. Но это Вы сами разберитесь.

Дальше не совсем понятно, что делать.

Во-первых, я так и не уверен до конца, имеются в виду в задаче бирациональные автоморфизмы кривой, или же только регулярные (определенные всюду). Если буквально по тексту, то первое, но по "педагогической логике" ситуации возможно
второе, но это не было явно сформулировано. Будем считать, что первое (второе из первого можно вывести, коли с первым разберетесь).

Во-вторых, ход мысли дальше не такой уж сложный, но предполагается, неявно, владение понятиями, о которых явно в параграфе не писалось. На самом деле, суть задачи категорная, и можно ее выразить так: "группы автоморфизмов изоморфных объектов изоморфны". Вот набросок дальнейших действий.
1) Простейшее знакомство с категориями по 1-й главе Ленга (всю главу для этого читать не обязательно).
2) Продумать следующее: множество неприводимых плоских кривых и непостоянных рациональных отображений между ними --- категория. (Почему нельзя в это определение включать постоянные отображения ? подумайте).
3) Пусть ${\mathcal C}$ --- произвольная категория. Для $X\in\operatorname{Ob}\,{\mathcal C}$ пусть $\operatorname{Aut}_{\mathcal C}(X)$ --- множество ${\mathcal C}$-автоморфизмов, т.е. ${\mathcal C}$-изоморфизмов объекта $X$ на себя.
Тогда имеет место следующее утверждение:
Предложение. Если $X,Y\in\operatorname{Ob}{\mathcal C}$, $\varphi\in\operatoname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ --- изоморфизм, то группы $\operatorname{Aut}_{\mathcal C}(X)$ и $\operatorname{Aut}_{\mathcal C}(Y)$ изоморфны. А именно, соответствие $\alpha\mapsto\varphi\circ\alpha\circ\varphi^{-1}$ --- изоморфизм между ними.
4) Каков отсюда вывод относительно группы бирациональных автоморфизмов кривой $X$ ?

(На самом деле, конечно, дойти до этого решения можно, и не зная, что такое категории, что видимо и предполагалось. Но я думаю, что лучше все-таки знать.)

[Misuzu]

vpb в сообщении #1363992 писал(а):

Ну если Вы по английски можете читать, то будет естественным указать такую книгу: T.Garrity, R.Belshoff, et al. Algebraic geometry: a problem solving approach. Т.е. коллектив авторов, Алгебраическая геометрия в задачах. Там очень расслабленное изложение. Причем оно геометрически ориентированное, в отличие от Кокс-Литл_ОШи. И там же есть обзор другой учебной литературы, что тоже полезно.

Не могу нагуглить pdf'ку T.Garrity, R.Belshoff, et al. Algebraic geometry: a problem solving approach. Где ее можно скачать?
Кокс, Литтл, Ши хорошая книга, решал оттуда задачи.

[Lia]

Misuzu в сообщении #1381757 писал(а):

Где ее можно скачать?

Первая же ссылка в Яндексе.