Двумерные максимумы

[alisa-lebovski]

Пусть имеется выборка независимых случайных двумерных векторов $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ с непрерывным распределение (для простоты, равномерным на $[0,1]$ по каждой компоненте). С какой вероятностью в выборке есть наблюдение, где обе компоненты максимальны по отношению к остальным? Если $y_i=x_i$, то это вероятность 1. Если $x_i$ и $y_i$ независимы, то $1/n$. Если $y_i=1-x_i$, то вероятность 0. А как ее посчитать в общем случае?

[mihiv]

alisa-lebovski в сообщении #1363092 писал(а):

А как ее посчитать в общем случае?

Общий случай-это когда $y_i$ произвольная функция от $x_i$ ? Но тогда распределение $y_i$ может не быть равномерным на [0,1].

[alisa-lebovski]

Общий, но с учетом этого ограничения. Например, может быть $y=1-|1-2x|$, и будет равномерное. Или $y$ с вероятностью $p$ равно $x$, а с вероятностью $1-p$ равно $1-x$, тоже будет равномерное.

[Munin]

Если (совместное) распределение вам не известно, то что вам известно о вероятностях различных распределений? :-)

[alisa-lebovski]

Уточняю. Совместное распределение задано функцией $F(x,y)$, такой, что по каждой компоненте распределение равномерное на $[0,1]$. Как найти вероятность того, что в выборке есть наблюдение, где обе компоненты максимальны по отношению к остальным наблюдениям?

[Munin]

То есть, $F(x,y)$ вам дана? (Изначально формулировка выглядела так, что вы её сами не знаете.)

[alisa-lebovski]

Функция дана. Не было сказано, что она неизвестна. Если бы она была неизвестна, то понятно, что посчитать ничего нельзя. Это иллюстрируют и приведенные примеры, что вероятность может быть разной при разных распределениях.

[mihaild]

Для случая $n = 2$ можете посчитать $P(x_1 > x_2, y_1 > y_2)$ И выразить через эту вероятность интересующий вас ответ для $n = 2$?

[alisa-lebovski]

Вроде получается в общем случае

$$n\int_0^1\int_0^1F^{n-1}(x,y)\,dF(x,y)$$

.

[Null]

alisa-lebovski в сообщении #1363708 писал(а):

Совместное распределение задано функцией $F(x,y)$, такой, что по каждой компоненте распределение равномерное на $[0,1]$.

alisa-lebovski в сообщении #1363689 писал(а):

Общий, но с учетом этого ограничения. Например, может быть $y=1-|1-2x|$, и будет равномерное.

Такое бывает довольно редко.
Да и считать $n\int_0^1\int_0^1F^{n-1}(x,y)\,dF(x,y)$ нормально сложновато так как $d_x d_yF(x,y)$ везде 0(а на кривой несуществует), но зато $F^{n-1}$ - непрерывна в нашем случае(вроде). Хитрый интеграл Стильтеса получается. Попробуйте для случая $x=y$ посчитать.
Как вам формула $n\int_0^1F^{n-1}(x,y(x))\,dx$, если $y$ - функция от $x$.

[--mS--]

(Оффтоп)

Null в сообщении #1363766 писал(а):

Такое бывает довольно редко.

Отчего же редко? См. https://en.wikipedia.org/wiki/Copula_&# ... ty_theory)