упрощение big-O выражений

[dp]

В курсе Calculus Single Variable часть 1 неделя 4 на курсере в доп заданиях по Orders of Growth есть задача 3.
Там говорится что есть например такое правило чтобы упростить big-O выражение:

$\frac{1}{1+O(g(x))}=1+O(g(x))$ тут $g(x)$ это положительная функция стремящаяся к нулю (насколько я понимаю при $x\to0^+$)

и спрашивают - вы понимаете почему эта формула имеет смысл?

так вот я что-то совершенно не понимаю.Я думаю что я понимаю что такое big-O, например $O(x^2) , x\to0^+$ обозначает все функции которые быстрее стремятся к 0 при $x\to0^+$ , что включает в себя $x^3$, $x^4$ итд

Поэтому не пойму $1+x^2$ стремится к 1 "сверху" при $x\to0^+$ , а $\frac{1}{1+x^2}$ "снизу"
И если взять например $x^3$ которая $O(x^2)$ то $1+x^3$ всегда будет больше чем любая из функций $\frac{1}{1+O(x^2)}$

Подозреваю что мои рассуждения в принципе не верны. Но никак не могу понять где.

Я мог и совсем переврать смысл вопроса, вот оригинал:

[Munin]

dp в сообщении #1363031 писал(а):

Я думаю что я понимаю что такое big-O, например $O(x^2) , x\to0^+$ обозначает все функции которые быстрее стремятся к 0 при $x\to0^+$ , что включает в себя $x^3$, $x^4$ итд

Это little-o. А big-O шире - она включает в себя не только те функции, которые стремятся быстрее.

[Sender]

dp в сообщении #1363031 писал(а):

Я думаю что я понимаю что такое big-O

Можете прямо здесь выписать определение O-большого, которое вам давали?

[dp]

Sender в сообщении #1363053 писал(а):

Можете прямо здесь выписать определение O-большого, которое вам давали?

Наверное это будет нарушением, но попробую вставить скриншотом, чтобы не ошибиться при переписывании.

[Sender]

Определение вроде стандартное. dp, как считаете, будет ли верным утверждение: $x^2=O(x^2)$ при $x \to 0$?

[DeBill]

dp в сообщении #1363031 писал(а):

это положительная функция стремящаяся к нулю (насколько я понимаю при $x\to0^+$)

Не так. Да у Вас же это написано: икс стремится к 0 СПРАВА (но не "ЖЕ стремится к нулю справа")
И еще: верно ли, что $x^2 \sin\frac{1}{x} =O(x^2) $ при $x \to 0^{+}$

[dp]

Sender в сообщении #1363067 писал(а):

будет ли верным утверждение: $x^2=O(x^2)$ при $x \to 0$?

думаю не будет, так как при любом $C>1$ условие big-O не удовлетворяется

DeBill в сообщении #1363091 писал(а):

верно ли, что $x^2 \sin\frac{1}{x} =O(x^2) $ при $x \to 0^{+}$

$x^2 \sin\frac{1}{x}=x^2(\frac{1}{x}-(\frac{1}{x})^3\frac{1}{3!}+...)=x-\frac{1}{x 3!}+...$

тут тоже похоже не будет, так $x \ne O(x^2) $ при $x \to 0^{+}$

Я вроде немного понял. Так как в определении модуль, то важно абсолютное значение. Поэтому и $1+x^3$ и $\frac{1}{1+x^3}$ при $x \to 0^{+}$ ближе к 1 чем $1+x^2$,



Но все-таки не очень понимаю как это можно подвести под опеределение ведь нет такого x при котором $1+|x^3|<\frac{1}{1+C|x^2|}$ при условии что $C>0$ , а мы же должны найти такой x около 0, что неравенство будет верно при любых C

На самом деле непонятно даже в самом простом случае. Например $|x^3|<C|x^2|$ при $x \to 0^{+}$ тут тоже если $C<0$ то нет такого x около нуля чтобы неравенство было верным

в определении big-O нет же ограничений на C .
что-то я запутался

[mihaild]

dp в сообщении #1363198 писал(а):

думаю не будет, так как при любом $C>1$ условие big-O не удовлетворяется

Почему? Выпишите какое там в точности неравенство получается и проверьте его.

dp в сообщении #1363198 писал(а):

$x^2 \sin\frac{1}{x}=x^2(\frac{1}{x}-(\frac{1}{x})^3\frac{1}{3!}+...)=x-\frac{1}{x 3!}+...$

У вас же аргумент синуса стремится к бесконечности, нельзя обрезать разложение.

dp в сообщении #1363198 писал(а):

$1+|x^3|<\frac{1}{1+C|x^2|}$

Посмотрите еще раз внимательно на определение - где должен стоять модуль и что умножать на $C$, и напишите его правильно для ваших функций (у вас расписано неправильно).

dp в сообщении #1363198 писал(а):

в определении big-O нет же ограничений на C .

$f = O(g)$, если существует какое-то $C$, для которого $f \leqslant C g$. Не требуется, чтобы это было выполнено для любого $C$.

[Lia]

dp

dp в сообщении #1363054 писал(а):

Наверное это будет нарушением, но попробую вставить скриншотом, чтобы не ошибиться при переписывании.

Судя по всему, цель несколько отличалась от заявленной. Переведите отскриненный текст, пожалуйста. Можно не весь. Можно только определение О-большого.

И если еще в этой теме Вам захочется поместить скриншот - то дублируйте полным переводом, пожалуйста. В данном случае это будет оправданно.

[dp]

Пересмотрел еще раз видео курса. Там ничего не говориться о знаке C . Просто :

a function $f(x)$ is in $O(g(x))$ as $x \to 0$ if $|f(x)|<C|g(x)|$ for some constant $C$ and $x$ sufficiently close to 0.

Хотя что в русской, что в английской версии википедии говорится "если существует такая константа $C>0$"
При этом в курсе приводится пример где явно сказано:

$5x+3x^2$ is in $O(x)$ but is not in $O(x^2)$ as $x \to 0$

отсюда делаю вывод что и $x^2 \ne O(x^2)$

хотя если расписать неравенство из определения $|x^2|<C|x^2|$ , то ясно что при любом $ C > 1$ это неравенство верно и $x^2=O(x^2)$ , что вроде как противоречит курсу.
Где правда?

[EUgeneUS]

Распишите неравенство для $5x + 3x^2$

[Munin]

dp в сообщении #1363395 писал(а):

Цитата:

$5x+3x^2$ is in $O(x)$ but is not in $O(x^2)$ as $x \to 0$

отсюда делаю вывод что и $x^2 \ne O(x^2)$

Это как вы делаете этот вывод? Объясните.
(Для цитирования чужих слов есть специальный тег.)

[dp]

Да, действительно, при $x \to 0$ всегда будет такой $x$ при котором $5x >> Cx^2$ какое бы большое $C$ мы не взяли, поэтому конечно $5x+3x^2$ = $O(x)$, а $x^2$ = $O(x^2)$ при $x \to 0$

а про условие, что $C>0$ - в курсе получается неточность что это не оговорено?

[Otta]

В курсе сказано, что существует. Оно такое существовать может только положительное. Убедитесь.

[dp]

Да, меня самого уже начинает раздражать моя лень) Понятно что так как в $|f(x)|<C|g(x)|$ справа и слева кроме модулей ничего кроме $C$ нет, то $C$ должно быть только положительным, иначе неравенство никогда не будет вернО.
Попробую теперь сам подумать над своим первоначальным вопросом.