2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка с помощью формулы Тейлора и R(x) в форме Лагр-жа.
Сообщение20.12.2018, 22:22 


15/12/18
74
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться в задаче.

С помощью разложения $f(x)=e^x$ в ряд Тейлора и остаточ. члена в форме Лагр-жа найти интeрвaльную оценку для $\sqrt{e}$.

Первая мысль - а в окрестности какой точки раскладывать? В окрестности $x=a$ имеем.

$e^x=e^a+e^a(x-a)+R_1(x)$, где $R_1(x)=0,5f''(c)(x-a)^2$, где $c$ точка между $x$ и $c$.

Я так понял, что скорее всего, имеется ввиду $x=a$.

Получаем в $x=a$

$e^x=1+x+0,5e^cx^2$.

Можно, конечно, формально получить $e^{0,5}=1+0,5+0,5^3e^c$, но это ведь ничего не дает.

Но а как дальше? Правильная ли мысль?

-- 20.12.2018, 23:15 --

Видимо я написал дичь?

Я в нуле рассматривал Тейлора, ввиду того, что при других целых $a$ у нас $e^a$ не будет рационально, ну и относительно недалеко от нуля=)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка с помощью формулы Тейлора и R(x) в форме Лагр-жа.
Сообщение20.12.2018, 23:30 


15/12/18
74
Видимо я написал дичь? Или задача странная?

Я в нуле рассматривал Тейлора, ввиду того, что при других целых $a$ у нас $e^a$ не будет рационально, ну и относительно недалеко от нуля=)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка с помощью формулы Тейлора и R(x) в форме Лагр-жа.
Сообщение21.12.2018, 03:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Задача и правда странная. Остаточный член есть у формулы Тейлора, а не у ряда. Но вообще, раскладывайте в окрестности нуля и не парьтесь. Берите те члены до второго порядка, подставляйте $x=\frac{1}{2}$. Что Вы, как я понял, как раз и делаете, только несколько вымученно описываете.
mr.vopros в сообщении #1362761 писал(а):
Можно, конечно, формально получить $e^{0,5}=1+0,5+0,5^3e^c$, но это ведь ничего не дает.

Используйте то, что Ваша средняя точка $c$ будет принадлежать интервалу $\left(0,\frac{1}{2}\right)$, откуда и получится интервальная оценка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка с помощью формулы Тейлора и R(x) в форме Лагр-жа.
Сообщение21.12.2018, 04:29 


15/12/18
74
Точно, затупил, в условии про формулу Тейлора:

$1+0,5+0,5^3e^0<e^{0,5}<1+0,5+0,5^3e^{0,5}$, но это ведь ничего не дает.

$e^{0,5}>1,5+0,125=1,625$

$e^{0,5}<1+0,5+0,5^3e^{0,5}$, тогда $e^{0,5}(1-0,125)<1+0,5$, тогда $e^{0,5}<\dfrac{1,5}{0,875}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{8}{7}=\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{13}{8}<e^{0,5}<\dfrac{12}{7}$

Верно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка с помощью формулы Тейлора и R(x) в форме Лагр-жа.
Сообщение21.12.2018, 04:33 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Да, вполне. (Можете посмотреть, на сколько отличается от настоящего значения.)
Можно попробовать уточнить оценку, на втором порядке свет клином не сошелся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка с помощью формулы Тейлора и R(x) в форме Лагр-жа.
Сообщение21.12.2018, 04:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
mr.vopros в сообщении #1362827 писал(а):
$1+0,5+0,5^3e^0<e^{0,5}<1+0,5+0,5^3e^{0,5}$, но это ведь ничего не дает.

Но всё-таки Вы себя превозмогли и что-то получили)
mr.vopros в сообщении #1362827 писал(а):
Верно ли это?

Посчитайте на калькуляторе

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка с помощью формулы Тейлора и R(x) в форме Лагр-жа.
Сообщение21.12.2018, 04:43 


15/12/18
74
Спасибо. Посмотрел, на $0,02$ в одну, на $0,07$ в другую.
Я ведь знал, что $c\in(0;0,5)$, но не подумал, что можно искусственно организовать еще одно рациональное значение. Искусственный трюк на внимательность скорее, чем на знание... Или я не прав?
Да, можно уточнить еще выписав член, но я идею понял, там такой же трюк будет с вынесением за скобки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка с помощью формулы Тейлора и R(x) в форме Лагр-жа.
Сообщение21.12.2018, 04:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
На знание теоремы Тейлора: полной формулировки, а не только самой формулы. Ничего искусственного тут нет, чисто техническое задание.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group