Оценка с помощью формулы Тейлора и R(x) в форме Лагр-жа.

[mr.vopros]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться в задаче.

С помощью разложения $f(x)=e^x$ в ряд Тейлора и остаточ. члена в форме Лагр-жа найти интeрвaльную оценку для $\sqrt{e}$.

Первая мысль - а в окрестности какой точки раскладывать? В окрестности $x=a$ имеем.

$e^x=e^a+e^a(x-a)+R_1(x)$, где $R_1(x)=0,5f''(c)(x-a)^2$, где $c$ точка между $x$ и $c$.

Я так понял, что скорее всего, имеется ввиду $x=a$.

Получаем в $x=a$

$e^x=1+x+0,5e^cx^2$.

Можно, конечно, формально получить $e^{0,5}=1+0,5+0,5^3e^c$, но это ведь ничего не дает.

Но а как дальше? Правильная ли мысль?

-- 20.12.2018, 23:15 --

Видимо я написал дичь?

Я в нуле рассматривал Тейлора, ввиду того, что при других целых $a$ у нас $e^a$ не будет рационально, ну и относительно недалеко от нуля=)

[mr.vopros]

Видимо я написал дичь? Или задача странная?

Я в нуле рассматривал Тейлора, ввиду того, что при других целых $a$ у нас $e^a$ не будет рационально, ну и относительно недалеко от нуля=)

[thething]

Задача и правда странная. Остаточный член есть у формулы Тейлора, а не у ряда. Но вообще, раскладывайте в окрестности нуля и не парьтесь. Берите те члены до второго порядка, подставляйте $x=\frac{1}{2}$. Что Вы, как я понял, как раз и делаете, только несколько вымученно описываете.

mr.vopros в сообщении #1362761 писал(а):

Можно, конечно, формально получить $e^{0,5}=1+0,5+0,5^3e^c$, но это ведь ничего не дает.

Используйте то, что Ваша средняя точка $c$ будет принадлежать интервалу $\left(0,\frac{1}{2}\right)$, откуда и получится интервальная оценка.

[mr.vopros]

Точно, затупил, в условии про формулу Тейлора:

$1+0,5+0,5^3e^0<e^{0,5}<1+0,5+0,5^3e^{0,5}$, но это ведь ничего не дает.

$e^{0,5}>1,5+0,125=1,625$

$e^{0,5}<1+0,5+0,5^3e^{0,5}$, тогда $e^{0,5}(1-0,125)<1+0,5$, тогда $e^{0,5}<\dfrac{1,5}{0,875}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{8}{7}=\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{13}{8}<e^{0,5}<\dfrac{12}{7}$

Верно ли это?

[Otta]

Да, вполне. (Можете посмотреть, на сколько отличается от настоящего значения.)
Можно попробовать уточнить оценку, на втором порядке свет клином не сошелся.

[thething]

mr.vopros в сообщении #1362827 писал(а):

$1+0,5+0,5^3e^0<e^{0,5}<1+0,5+0,5^3e^{0,5}$, но это ведь ничего не дает.

Но всё-таки Вы себя превозмогли и что-то получили)

mr.vopros в сообщении #1362827 писал(а):

Верно ли это?

Посчитайте на калькуляторе

[mr.vopros]

Спасибо. Посмотрел, на $0,02$ в одну, на $0,07$ в другую.
Я ведь знал, что $c\in(0;0,5)$, но не подумал, что можно искусственно организовать еще одно рациональное значение. Искусственный трюк на внимательность скорее, чем на знание... Или я не прав?
Да, можно уточнить еще выписав член, но я идею понял, там такой же трюк будет с вынесением за скобки.

[thething]

На знание теоремы Тейлора: полной формулировки, а не только самой формулы. Ничего искусственного тут нет, чисто техническое задание.