Задача из курса общей топологии об отображениях

[PeterSam]

Здравствуйте! Задача следующая.

"Дано отображение $f$ прямой $R$ с обычной топологией на себя, причём известно, что $f$ - биекция и образ каждого связного множества связен. Всегда ли тогда $f$ является гомеоморфизмом?"

Хочется утверждать, что нет. Но тогда нужно привести пример такого $f$, не являющегося гомеоморфизмом (то есть не непрерывного, или чтобы $f^{-1}$ было не непрерывным).

Пока идей нет, но приходит на ум такая теорема: При непрерывном отображении образ связного топологического пространства связен . Не могу понять, верна ли ей обратная теорема. Если верна, то получаем, что $f$ из задачи ещё и непрерывно.

Буду признателен, если натолкнёте на верный путь.

[g______d]

PeterSam в сообщении #1362316 писал(а):

Не могу понять, верна ли ей обратная теорема.

Так не получится, в общем случае (даже в $\mathbb R^n$) это открытый вопрос.

В случае $\mathbb R$ поймите, как вообще устроены связные подмножества в стандартной топологии, вариантов будет не так много. После этого должно быть понятно, что делать дальше.

[PeterSam]

g______d в сообщении #1362320 писал(а):

В случае $\mathbb R$ поймите, как вообще устроены связные подмножества в стандартной топологии

Связное подмножество $A$ топологического пространства $X$ - это то, которое нельзя представить как объединение двух своих непересекающихся подмножеств, которые в объединении давали бы всё $A$.

На $R$ связными будут такие пространства, как отрезок, интервал, полуинтервал, множество рациональных чисел и т.д. А вот множество $(0;1) \cup (1;2)$ несвязно.

[grizzly]

PeterSam в сообщении #1362405 писал(а):

множество рациональных чисел

Это ещё почему? Объедините $(-\infty; \sqrt 2)\cap \mathbb Q$ и $(\sqrt 2; +\infty)\cap \mathbb Q$

[PeterSam]

grizzly в сообщении #1362410 писал(а):

Это ещё почему? Объедините $(-\infty; \sqrt 2)\cap \mathbb Q$ и $(\sqrt 2; +\infty)\cap \mathbb Q$

Да, действительно, спасибо! Поторопился с таким выводом

[grizzly]

PeterSam в сообщении #1362415 писал(а):

Поторопился с таким выводом

Тогда, значит, никакого и т.д., правильно?

-- 19.12.2018, 13:42 --

в смысле здесь

PeterSam в сообщении #1362405 писал(а):

На $R$ связными будут такие пространства, как отрезок, интервал, полуинтервал, множество рациональных чисел и т.д.

[mihaild]

PeterSam в сообщении #1362405 писал(а):

Связное подмножество $A$ топологического пространства $X$ - это то, которое нельзя представить как объединение двух своих непересекающихся подмножеств, которые в объединении давали бы всё $A$

По этому определению связно вообще любое подмножество.

[PeterSam]

mihaild в сообщении #1362434 писал(а):

По этому определению связно вообще любое подмножество.

Действительно, спасибо! Скорректирую определение связности:

Связное подмножество $A$ топологического пространства $X$ - это то, которое нельзя представить как объединение двух своих непересекающихся непустых открытых подмножеств.[/quote]


Понимаю, что подмножество прямой связно, если оно есть некоторый промежуток прямой: интервал, полуинтервал, луч, отрезок. Как рассуждать дальше, ума не приложу... Знаю, что при биекции прямой на прямую образом некоторого отрезка не может быть некоторый полуинтервал (доказывал ранее). Может ли это здесь пригодиться?

[mihaild]

Тьфу, я выше "не" пропустил (и никто даже меня не пнул). Да, исправление верное (если правильно уточнить, относительно какой топологии подмножества должны быть открыты).

PeterSam в сообщении #1362616 писал(а):

Знаю, что при биекции прямой на прямую образом некоторого отрезка не может быть некоторый полуинтервал (доказывал ранее).

А может получиться интервал, или луч?