2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 00:16 


11/09/17
23
Здравствуйте! Задача следующая.

"Дано отображение $f$ прямой $R$ с обычной топологией на себя, причём известно, что $f$ - биекция и образ каждого связного множества связен. Всегда ли тогда $f$ является гомеоморфизмом?"

Хочется утверждать, что нет. Но тогда нужно привести пример такого $f$, не являющегося гомеоморфизмом (то есть не непрерывного, или чтобы $f^{-1}$ было не непрерывным).

Пока идей нет, но приходит на ум такая теорема: При непрерывном отображении образ связного топологического пространства связен . Не могу понять, верна ли ей обратная теорема. Если верна, то получаем, что $f$ из задачи ещё и непрерывно.

Буду признателен, если натолкнёте на верный путь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
PeterSam в сообщении #1362316 писал(а):
Не могу понять, верна ли ей обратная теорема.


Так не получится, в общем случае (даже в $\mathbb R^n$) это открытый вопрос.

В случае $\mathbb R$ поймите, как вообще устроены связные подмножества в стандартной топологии, вариантов будет не так много. После этого должно быть понятно, что делать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 12:44 


11/09/17
23
g______d в сообщении #1362320 писал(а):
В случае $\mathbb R$ поймите, как вообще устроены связные подмножества в стандартной топологии


Связное подмножество $A$ топологического пространства $X$ - это то, которое нельзя представить как объединение двух своих непересекающихся подмножеств, которые в объединении давали бы всё $A$.

На $R$ связными будут такие пространства, как отрезок, интервал, полуинтервал, множество рациональных чисел и т.д. А вот множество $(0;1) \cup (1;2)$ несвязно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
PeterSam в сообщении #1362405 писал(а):
множество рациональных чисел
Это ещё почему? Объедините $(-\infty; \sqrt 2)\cap \mathbb Q$ и $(\sqrt 2; +\infty)\cap \mathbb Q$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 13:15 


11/09/17
23
grizzly в сообщении #1362410 писал(а):
Это ещё почему? Объедините $(-\infty; \sqrt 2)\cap \mathbb Q$ и $(\sqrt 2; +\infty)\cap \mathbb Q$


Да, действительно, спасибо! Поторопился с таким выводом

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
PeterSam в сообщении #1362415 писал(а):
Поторопился с таким выводом
Тогда, значит, никакого и т.д., правильно?

-- 19.12.2018, 13:42 --

в смысле здесь
PeterSam в сообщении #1362405 писал(а):
На $R$ связными будут такие пространства, как отрезок, интервал, полуинтервал, множество рациональных чисел и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
PeterSam в сообщении #1362405 писал(а):
Связное подмножество $A$ топологического пространства $X$ - это то, которое нельзя представить как объединение двух своих непересекающихся подмножеств, которые в объединении давали бы всё $A$
По этому определению связно вообще любое подмножество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение20.12.2018, 07:40 


11/09/17
23
mihaild в сообщении #1362434 писал(а):
По этому определению связно вообще любое подмножество.


Действительно, спасибо! Скорректирую определение связности:

Связное подмножество $A$ топологического пространства $X$ - это то, которое нельзя представить как объединение двух своих непересекающихся непустых открытых подмножеств.[/quote]


Понимаю, что подмножество прямой связно, если оно есть некоторый промежуток прямой: интервал, полуинтервал, луч, отрезок. Как рассуждать дальше, ума не приложу... Знаю, что при биекции прямой на прямую образом некоторого отрезка не может быть некоторый полуинтервал (доказывал ранее). Может ли это здесь пригодиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение20.12.2018, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
Тьфу, я выше "не" пропустил (и никто даже меня не пнул). Да, исправление верное (если правильно уточнить, относительно какой топологии подмножества должны быть открыты).
PeterSam в сообщении #1362616 писал(а):
Знаю, что при биекции прямой на прямую образом некоторого отрезка не может быть некоторый полуинтервал (доказывал ранее).
А может получиться интервал, или луч?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group