2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 00:16 


11/09/17
23
Здравствуйте! Задача следующая.

"Дано отображение $f$ прямой $R$ с обычной топологией на себя, причём известно, что $f$ - биекция и образ каждого связного множества связен. Всегда ли тогда $f$ является гомеоморфизмом?"

Хочется утверждать, что нет. Но тогда нужно привести пример такого $f$, не являющегося гомеоморфизмом (то есть не непрерывного, или чтобы $f^{-1}$ было не непрерывным).

Пока идей нет, но приходит на ум такая теорема: При непрерывном отображении образ связного топологического пространства связен . Не могу понять, верна ли ей обратная теорема. Если верна, то получаем, что $f$ из задачи ещё и непрерывно.

Буду признателен, если натолкнёте на верный путь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
PeterSam в сообщении #1362316 писал(а):
Не могу понять, верна ли ей обратная теорема.


Так не получится, в общем случае (даже в $\mathbb R^n$) это открытый вопрос.

В случае $\mathbb R$ поймите, как вообще устроены связные подмножества в стандартной топологии, вариантов будет не так много. После этого должно быть понятно, что делать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 12:44 


11/09/17
23
g______d в сообщении #1362320 писал(а):
В случае $\mathbb R$ поймите, как вообще устроены связные подмножества в стандартной топологии


Связное подмножество $A$ топологического пространства $X$ - это то, которое нельзя представить как объединение двух своих непересекающихся подмножеств, которые в объединении давали бы всё $A$.

На $R$ связными будут такие пространства, как отрезок, интервал, полуинтервал, множество рациональных чисел и т.д. А вот множество $(0;1) \cup (1;2)$ несвязно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
PeterSam в сообщении #1362405 писал(а):
множество рациональных чисел
Это ещё почему? Объедините $(-\infty; \sqrt 2)\cap \mathbb Q$ и $(\sqrt 2; +\infty)\cap \mathbb Q$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 13:15 


11/09/17
23
grizzly в сообщении #1362410 писал(а):
Это ещё почему? Объедините $(-\infty; \sqrt 2)\cap \mathbb Q$ и $(\sqrt 2; +\infty)\cap \mathbb Q$


Да, действительно, спасибо! Поторопился с таким выводом

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
PeterSam в сообщении #1362415 писал(а):
Поторопился с таким выводом
Тогда, значит, никакого и т.д., правильно?

-- 19.12.2018, 13:42 --

в смысле здесь
PeterSam в сообщении #1362405 писал(а):
На $R$ связными будут такие пространства, как отрезок, интервал, полуинтервал, множество рациональных чисел и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение19.12.2018, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
PeterSam в сообщении #1362405 писал(а):
Связное подмножество $A$ топологического пространства $X$ - это то, которое нельзя представить как объединение двух своих непересекающихся подмножеств, которые в объединении давали бы всё $A$
По этому определению связно вообще любое подмножество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение20.12.2018, 07:40 


11/09/17
23
mihaild в сообщении #1362434 писал(а):
По этому определению связно вообще любое подмножество.


Действительно, спасибо! Скорректирую определение связности:

Связное подмножество $A$ топологического пространства $X$ - это то, которое нельзя представить как объединение двух своих непересекающихся непустых открытых подмножеств.[/quote]


Понимаю, что подмножество прямой связно, если оно есть некоторый промежуток прямой: интервал, полуинтервал, луч, отрезок. Как рассуждать дальше, ума не приложу... Знаю, что при биекции прямой на прямую образом некоторого отрезка не может быть некоторый полуинтервал (доказывал ранее). Может ли это здесь пригодиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из курса общей топологии об отображениях
Сообщение20.12.2018, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Тьфу, я выше "не" пропустил (и никто даже меня не пнул). Да, исправление верное (если правильно уточнить, относительно какой топологии подмножества должны быть открыты).
PeterSam в сообщении #1362616 писал(а):
Знаю, что при биекции прямой на прямую образом некоторого отрезка не может быть некоторый полуинтервал (доказывал ранее).
А может получиться интервал, или луч?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group