Число пар параллельных отрезков правильного n-угольника

[Rusit8800]

Я думаю, что задача определения числа параллельных пар отрезков, концы которых являются вершинами правильного $n$ - угольника, хорошо известна и уже давно решена.
Я решил применить аппарат комплексных чисел для решения данной задачи. Я пронумеровал вершины правильного $n$ угольника числами из множества $W= \[\left\{ {0,1,2,...,(n-1)} \right\}\]$, и поставил им в соответствие комплексные числа $\[\cos \frac{{2\pi k}}{n} + i\sin \frac{{2\pi k}}{n}\]$, $\[k \in W\]$. Далее я рассматриваю попарно неравные числа $\[{i_1},{i_2},{j_1},{j_2} \in W\]$, и ставлю им в соответствие комплексные числа

$$\[\begin{array}{l} {z_{{i_1}}} = \cos \frac{{2\pi {i_1}}}{n} + i\sin \frac{{2\pi {i_1}}}{n};{z_{{i_2}}} = \cos \frac{{2\pi {i_2}}}{n} + i\sin \frac{{2\pi {i_2}}}{n}\\ {z_{{j_1}}} = \cos \frac{{2\pi {j_1}}}{n} + i\sin \frac{{2\pi {j_1}}}{n};{z_{{j_2}}} = \cos \frac{{2\pi {j_2}}}{n} + i\sin \frac{{2\pi {j_2}}}{n} \end{array}\]$$

Определим вектора $\[\overrightarrow {{r_{{i_1}{j_1}}}} = {z_{{i_1}}} - {z_{{j_1}}}\]$ и $\[\overrightarrow {{r_{{i_2}{j_2}}}} = {z_{{i_2}}} - {z_{{j_2}}}\]$. Будем искать количество четверок $(i_1,i_2,j_1,j_2)$, удовлетворяющих условию $\[\overrightarrow {{r_{{i_1}{j_1}}}} \parallel \overrightarrow {{r_{{i_2}{j_2}}}} \]$. Это количество будет в $4$ раза больше количества пар отрезков, удовлетворяющих условию задачи, поскольку можно, меняя направления векторов, получить $2^2=4$ пар коллинеарных векторов, которые будут удовлетворять $\[\overrightarrow {{r_{{i_1}{j_1}}}} \parallel \overrightarrow {{r_{{i_2}{j_2}}}} \]$ и которые будут задавать только одну пару параллельных отрезков. Условие $\[\overrightarrow {{r_{{i_1}{j_1}}}} \parallel \overrightarrow {{r_{{i_2}{j_2}}}} \]$ равносильно

$$ \[\frac{{{z_{{i_1}}} - {z_{{j_1}}}}}{{{z_{{i_2}}} - {z_{{j_2}}}}} = \frac{{\overline {{z_{{i_1}}}} - \overline {{z_{{j_1}}}} }}{{\overline {{z_{{i_2}}}} - \overline {{z_{{j_2}}}} }}\]$$

Будем преобразовывать это выражение:

$$ \[\begin{array}{l} \frac{{\left( {\cos \frac{{2\pi {i_1}}}{n} + i\sin \frac{{2\pi {i_1}}}{n}} \right) - \left( {\cos \frac{{2\pi {j_1}}}{n} + i\sin \frac{{2\pi {j_1}}}{n}} \right)}}{{\left( {\cos \frac{{2\pi {i_2}}}{n} + i\sin \frac{{2\pi {i_2}}}{n}} \right) - \left( {\cos \frac{{2\pi {j_2}}}{n} + i\sin \frac{{2\pi {j_2}}}{n}} \right)}} = \frac{{\left( {\cos \frac{{2\pi {i_1}}}{n} - i\sin \frac{{2\pi {i_1}}}{n}} \right) - \left( {\cos \frac{{2\pi {j_1}}}{n} - i\sin \frac{{2\pi {j_1}}}{n}} \right)}}{{\left( {\cos \frac{{2\pi {i_2}}}{n} - i\sin \frac{{2\pi {i_2}}}{n}} \right) - \left( {\cos \frac{{2\pi {j_2}}}{n} - i\sin \frac{{2\pi {j_2}}}{n}} \right)}} \Leftrightarrow \\ \\ \\ \frac{{\left( {\cos \frac{{2\pi {i_1}}}{n} - \cos \frac{{2\pi {j_1}}}{n}} \right) + i\left( {\sin \frac{{2\pi {i_1}}}{n} - \sin \frac{{2\pi {j_1}}}{n}} \right)}}{{\left( {\cos \frac{{2\pi {i_2}}}{n} - \cos \frac{{2\pi {j_2}}}{n}} \right) + i\left( {\sin \frac{{2\pi {i_2}}}{n} - \sin \frac{{2\pi {j_2}}}{n}} \right)}} = \frac{{\left( {\cos \frac{{2\pi {i_1}}}{n} - \cos \frac{{2\pi {j_1}}}{n}} \right) - i\left( {\sin \frac{{2\pi {i_1}}}{n} - \sin \frac{{2\pi {j_1}}}{n}} \right)}}{{\left( {\cos \frac{{2\pi {i_2}}}{n} - \cos \frac{{2\pi {j_2}}}{n}} \right) - i\left( {\sin \frac{{2\pi {i_2}}}{n} - \sin \frac{{2\pi {j_2}}}{n}} \right)}} \Leftrightarrow \\ \\ \\ \frac{{ - 2\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n} + i\left( {2\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}} \right)}}{{ - 2\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} + i\left( {2\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}} \right)}} = \frac{{ - 2\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n} - i\left( {2\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}} \right)}}{{ - 2\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} - i\left( {2\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}} \right)}} \Leftrightarrow \\ \\ \\ \frac{{\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n} - i\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}}}{{\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} - i\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}}} = \frac{{\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n} + i\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}}}{{\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} + i\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}}} \end{array}\]$$

Сделаем замены:

$$\[\begin{array}{l} A = \sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n};B = \sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\\ C = \sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n};D = \sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} \end{array}\]$$

тогда имеем

$$ \[\begin{array}{l} \frac{{A - iB}}{{C - iD}} = \frac{{A + iB}}{{C + iD}} \Leftrightarrow \left( {A - iB} \right)\left( {C + iD} \right) = \left( {A + iB} \right)\left( {C - iD} \right) \Leftrightarrow \\ AC + iAD - iBC - {i^2}BD = AC - iAD + iBC - {i^2}BD \Leftrightarrow AD = BC \Leftrightarrow \\ \sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} = \sin \frac{{\pi \left( {{i_1} - {j_1}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} - {j_2}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}\\ \sin \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} = \cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} \end{array}\] $$

Мы, таким образом, вывели равносильное условие коллинеарности векторов:

$$\[\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} = \cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}\]$$

Преобразуем его. Для этого сначала рассмотрим 2 случая:
Cлучай 1)

$$\[\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} = \pm 1 \Leftrightarrow {i_2} + {j_2} = n + 2nk \Leftrightarrow \cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} = 0\]$$

Чтобы уравнение выполнялось, необходимо положить

$$\[\cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n} = 0 \Leftrightarrow {i_1} + {j_1} = n + 2n{k_2}\]$$

Таким образом, мы имеем систему:

$$\[\left\{ \begin{array}{l} {i_2} + {j_2} = n + 2n{k_1}\\ {i_1} + {j_1} = n + 2n{k_2} \end{array} \right.\]$$

Максимум и минимум данных сумм равны соответственно $\[\left( {n - 1} \right) + \left( {n - 2} \right) = 2n - 3 < 3n\]$ и $\[0 + 1 = 1 > - n\]$, так что мы окончательно приходим к системе:

$$\[\left\{ \begin{array}{l} {i_2} + {j_2} = n \\ {i_1} + {j_1} = n \end{array} \right.\]$$

Случай 2) Пусть теперь $\[{i_2} + {j_2} \ne n + 2n{k_1}\]$. Тогда можно смело делить уравнение на $\[\cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}\]$:

$$\[\begin{array}{l} \tan \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n} = \tan \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} \Leftrightarrow \frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n} - \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}} \right)}}{{\cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}}} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n} \ne 0,\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} \ne 0} \\ \sin \left( {\frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n} - \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n} - \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} = \pi {k_3} \Leftrightarrow \\ \left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right) = n{k_3} \end{array}\]$$

Максимум и минимум выражения $\left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right)$ равны соответственно
$\[\left( {(n - 1) + (n - 2)} \right) - \left( {0 + 1} \right) = 2n - 4 < 2n\]$ и $\[\left( {0 + 1} \right) - \left( {(n - 1) + (n - 2)} \right) = - 2n + 4 > 2n\]$, так что получим совокупность

$$ \[\left[ \begin{array}{l} \left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right) = n\\ \left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right) = - n\\ \left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right) = 0 \end{array} \right.\] $$

Итак, данная система равносильна следующей общей совокупности:

$$\[\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {i_1} + {j_1} = n\\ {i_2} + {j_2} = n \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {i_1} + {j_1} \ne n\\ {i_2} + {j_2} \ne n \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} \left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right) = n\\ \left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right) = - n\\ \left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right) = 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right.\]$$

И тут возникает разумный вопрос: а что с этим делать? То есть как, используя тот факт что $\[{i_1},{i_2},{j_1},{j_2} \in W\]$, подсчитать число решений совокупности? Да и вообще, ничего ли я не упустил в решении, например, целый класс корней, удовлетворяющих условию?

[Pphantom]

Rusit8800 в сообщении #1361695 писал(а):

Я решил применить аппарат комплексных чисел для решения данной задачи.

Зачем?

Rusit8800 в сообщении #1361695 писал(а):

Мы, таким образом, вывели равносильное условие коллинеарности векторов:

$$\[\sin \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\cos \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n} = \cos \frac{{\pi \left( {{i_1} + {j_1}} \right)}}{n}\sin \frac{{\pi \left( {{i_2} + {j_2}} \right)}}{n}\]$$

Если перенести правую часть влево, то можно обнаружить, что это синус некой разности, который равен нулю, из чего получить нечто полезное (впрочем, то же самое можно было получить и сразу, не пытаясь заколачивать гвозди микроскопом).

[Rusit8800]

Pphantom в сообщении #1361697 писал(а):

Зачем?

Для интереса. К тому же это самое разумное, что пришло в голову - я хотел получить чисто алгебраическое решение.

Pphantom в сообщении #1361697 писал(а):

Если перенести правую часть влево, то можно обнаружить, что это синус некой разности, который равен нулю, из чего получить нечто полезное (впрочем, то же самое можно было получить и сразу, не пытаясь заколачивать гвозди микроскопом).

Кстати да. Тогда рассматривать случай 1 не имеет смысла, и тогда имеем решение(взятое из пункта случая 2):

$$\[\left[ \begin{array}{l} \left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right) = n\\ \left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right) = - n\\ \left( {{i_1} + {j_1}} \right) - \left( {{i_2} + {j_2}} \right) = 0 \end{array} \right.\]$$

Стало проще, но идей все равно нет.

-- 16.12.2018, 16:09 --

Pphantom в сообщении #1361697 писал(а):

впрочем, то же самое можно было получить и сразу, не пытаясь заколачивать гвозди микроскопом

Каким образом?