Имеет ли эта планиметрическая задача решение?

[mr.vopros]

Задача такая:
Известны координаты точек $A(x_1,y_1)$;$B(x_2,y_2)$ -центров окружностей с известными радиусами $R_1,R_2$,известно что окружность с неизвестными координатами центра $(x_3,y_3)$ касается двух вышеперечисленных окружностей так, как показано на рисунке, еще известны координаты точки $M(x,y)$;, лежащей на окружности с центром $C(x_3,y_3)$. В задаче нужно найти координаты центра $C(x_3,y_3)$.


Возможно ли это сделать? Я понимаю, что $R+r=AC$, где $r$ - радиус окружности с центром в точке $C(x_3,y_3)$, пока больше не вижу за что зацепиться (разумееется, знаю как считать $AC$ по формуле расстояния между точками).

[slavav]

Попробуйте написать такую формулу: $? = BC$.

[mr.vopros]

Спасибо! $BC=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$. Так?

[slavav]

Да так. Теперь у вас есть пара квадратных уравнений. Сведите их вместе и решите получившееся уравнение (систему уравнений).

[mr.vopros]

Спасибо, что-то я не очень понимаю.

Вижу такие уравнения:

1) $(x-x_3)^2+(y-y_3)^2=r^2$ ($r$ - радиус окружности с центром в точке $C(x_3,y_3)$)

Здесь есть три неизвестные $x_3,y_3,r$

2) $r+R_1=AC$ или $r+\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$.

Здесь получаем те же самые три неизвестные $x_3,y_3,r$

3) Далее, 3 уравнение, насколько я понял, это уравнение $BC=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$. Так?

В нем появилась новая неизвестная $BC$, то есть три неизвестные $x_3,y_3, BC$.

Подскажите, пожалуйста, что с этим $BC$ делать или я что-то не так понимаю?

По-хорошему нужно еще одно уравнение тогда.

-- 15.12.2018, 20:21 --

Подозреваю, что это условие должно каким-то образом содержать $R_2$. Я понимаю, что $x_2^2+y_2^2=R^2_2$.

Тогда можно еще сказать, что пусть $T(x_4;y_4)$ есть общая точка окружности с центрами в $B,C$, тогда имеем систему из двух уравнений, с помощью которой можно "найти" точку касания.

$(x_4-x_3)^2+(y_4-y_3)^2=r^2$ и $(x_4-x_2)^2+(y_4-y_2)^2=R_2^2$

Но это добавило две новые неизвестные и два новых уравнения, то есть толку от этого нет, к сожалению.

[gris]

А чем $BC$ отличается от $AC$? Разве оно выражается только одним способом? И для каждого $r$ достаточно маленького будет своя окружность, единственная в этом клювике. А разве задано $r$?

[mr.vopros]

gris в сообщении #1361534 писал(а):

А чем $BC$ отличается от $AC$? Разве оно выражается только одним способом? И для каждого $r$ достаточно маленького будет своя окружность, единственная в этом клювике. А разве задано $r$?

В том-то и дело, что не задано $r$. Получается, что если $r$ не задано, то однозначного решения получить не сможем? (только завис. от параметра $r$?)

[Sender]

mr.vopros,
Убедитесь, что вы использовали все условия. Запишите, что означает условие "окружность с неизвестными координатами центра $(x_3,y_3)$ касается двух вышеперечисленных окружностей так, как показано на рисунке".

[mr.vopros]

Sender в сообщении #1361555 писал(а):

Убедитесь, что вы использовали все условия.

Так я вроде все использовал, знаю как еще добавить два новых уравнения и два новых неизвестных, но это ведь не пойдет в плюс (то есть использовать еще одно условие касания).

Sender в сообщении #1361555 писал(а):

"окружность с неизвестными координатами центра $(x_3,y_3)$ касается двух вышеперечисленных окружностей так, как показано на рисунке".

Это значит, что окружность имеет только одну общую точку с каждой из двух других окружностей. Если добавлять эти две точки касания, то получим 4 новых уравнения и 4 новых неизвестных.

[slavav]

Я немного запутался сам и запутал вас. Прошу прощения и предлагаю начать с начала. Решим более простую задачу. Из всех условий оставим $(x, y)$, $(x_1, y_1)$, $R_1$. Каково геометрическое место точек $(x_3, y_3)$? Подсказка: расстояние от $(x_3, y_3)$ до $(x_1, y_1)$ на $R_1$ больше чем расстояние от $(x_3, y_3)$ до $(x, y)$. Так что точки $(x_3, y_3)$ лежат на кривой второго порядка. Какой?

[provincialka]

mr.vopros в сообщении #1361477 писал(а):

Я понимаю, что $R+r=AC$,

Тут, видимо, $R$ означает $R_1$. Но есть похожее соотношение для $R_2$. Да и точку $M$ не надо забывать.

[mr.vopros]

provincialka в сообщении #1361602 писал(а):

Тут, видимо, $R$ означает $R_1$. Но есть похожее соотношение для $R_2$. Да и точку $M$ не надо забывать.

Спасибо, да, именно. Сейчас попробую $R_2-r=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$. Так?

-- 16.12.2018, 00:51 --

1) $(x-x_3)^2+(y-y_3)^2=r^2$ ($r$ - радиус окружности с центром в точке $C(x_3,y_3)$)

Здесь есть три неизвестные $x_3,y_3,r$

2) $r+R_1=AC$ или $r+\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$.

Здесь получаем те же самые три неизвестные $x_3,y_3,r$

3) Далее, 3 уравнение $R_2-r=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$. Так?

Здесь получаем те же самые три неизвестные $x_3,y_3,r$

Получается система из трех уравнений и трех неизвестных. Правильно?

[provincialka]

Хм... откуда во втором случае взялся $\sqrt{x^2_1 + y_1^2}$? Там что, как-то начало координат участвует?

В остальном правильно. Но вот решать такое в общем виде я бы не взялась...

[mr.vopros]

Из второго уравнения получаем, что $r=-\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$.

Подставляем в первое и третье и получаем веселуху=)

1) $(x-x_3)^2+(y-y_3)^2=\left(-\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}\right)^2$

3) $R_2+\sqrt{x_1^2+y_1^2}-\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$.

Спасибо! Осталась пара вопросов, которые остались
1) А получится ли вообще в явном виде выразить? (или только численно на компьютере)
2) Будет ли единственное решение у системы?

-- 16.12.2018, 01:03 --

provincialka в сообщении #1361608 писал(а):

Хм... откуда во втором случае взялся $\sqrt{x^2_1 + y_1^2}$? Там что, как-то начало координат участвует?

Да, это я что-то туплю, там должно быть $R_1$, оно же известно по условию.

[wrest]

mr.vopros в сообщении #1361610 писал(а):

2) Будет ли единственное решение у системы?

Нет.