2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение15.12.2018, 17:59 


15/12/18
74
Задача такая:
Известны координаты точек $A(x_1,y_1)$;$B(x_2,y_2)$ -центров окружностей с известными радиусами $R_1,R_2$,известно что окружность с неизвестными координатами центра $(x_3,y_3)$ касается двух вышеперечисленных окружностей так, как показано на рисунке, еще известны координаты точки $M(x,y)$;, лежащей на окружности с центром $C(x_3,y_3)$. В задаче нужно найти координаты центра $C(x_3,y_3)$.
Изображение

Возможно ли это сделать? Я понимаю, что $R+r=AC$, где $r$ - радиус окружности с центром в точке $C(x_3,y_3)$, пока больше не вижу за что зацепиться (разумееется, знаю как считать $AC$ по формуле расстояния между точками).

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение15.12.2018, 18:11 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Попробуйте написать такую формулу: $? = BC$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение15.12.2018, 18:24 


15/12/18
74
Спасибо! $BC=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение15.12.2018, 18:37 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Да так. Теперь у вас есть пара квадратных уравнений. Сведите их вместе и решите получившееся уравнение (систему уравнений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение15.12.2018, 20:11 


15/12/18
74
Спасибо, что-то я не очень понимаю.

Вижу такие уравнения:

1) $(x-x_3)^2+(y-y_3)^2=r^2$ ($r$ - радиус окружности с центром в точке $C(x_3,y_3)$)

Здесь есть три неизвестные $x_3,y_3,r$

2) $r+R_1=AC$ или $r+\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$.

Здесь получаем те же самые три неизвестные $x_3,y_3,r$

3) Далее, 3 уравнение, насколько я понял, это уравнение $BC=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$. Так?

В нем появилась новая неизвестная $BC$, то есть три неизвестные $x_3,y_3, BC$.

Подскажите, пожалуйста, что с этим $BC$ делать или я что-то не так понимаю?

По-хорошему нужно еще одно уравнение тогда.

-- 15.12.2018, 20:21 --

Подозреваю, что это условие должно каким-то образом содержать $R_2$. Я понимаю, что $x_2^2+y_2^2=R^2_2$.

Тогда можно еще сказать, что пусть $T(x_4;y_4)$ есть общая точка окружности с центрами в $B,C$, тогда имеем систему из двух уравнений, с помощью которой можно "найти" точку касания.

$(x_4-x_3)^2+(y_4-y_3)^2=r^2$ и $(x_4-x_2)^2+(y_4-y_2)^2=R_2^2$

Но это добавило две новые неизвестные и два новых уравнения, то есть толку от этого нет, к сожалению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение15.12.2018, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
А чем $BC$ отличается от $AC$? Разве оно выражается только одним способом? И для каждого $r$ достаточно маленького будет своя окружность, единственная в этом клювике. А разве задано $r$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение15.12.2018, 22:05 


15/12/18
74
gris в сообщении #1361534 писал(а):
А чем $BC$ отличается от $AC$? Разве оно выражается только одним способом? И для каждого $r$ достаточно маленького будет своя окружность, единственная в этом клювике. А разве задано $r$?

В том-то и дело, что не задано $r$. Получается, что если $r$ не задано, то однозначного решения получить не сможем? (только завис. от параметра $r$?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение15.12.2018, 22:19 


14/01/11
3019
mr.vopros,
Убедитесь, что вы использовали все условия. Запишите, что означает условие "окружность с неизвестными координатами центра $(x_3,y_3)$ касается двух вышеперечисленных окружностей так, как показано на рисунке".

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение15.12.2018, 22:27 


15/12/18
74
Sender в сообщении #1361555 писал(а):
Убедитесь, что вы использовали все условия.

Так я вроде все использовал, знаю как еще добавить два новых уравнения и два новых неизвестных, но это ведь не пойдет в плюс (то есть использовать еще одно условие касания).
Sender в сообщении #1361555 писал(а):
"окружность с неизвестными координатами центра $(x_3,y_3)$ касается двух вышеперечисленных окружностей так, как показано на рисунке".

Это значит, что окружность имеет только одну общую точку с каждой из двух других окружностей. Если добавлять эти две точки касания, то получим 4 новых уравнения и 4 новых неизвестных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение16.12.2018, 00:09 
Заслуженный участник


26/05/14
981
Я немного запутался сам и запутал вас. Прошу прощения и предлагаю начать с начала. Решим более простую задачу. Из всех условий оставим $(x, y)$, $(x_1, y_1)$, $R_1$. Каково геометрическое место точек $(x_3, y_3)$? Подсказка: расстояние от $(x_3, y_3)$ до $(x_1, y_1)$ на $R_1$ больше чем расстояние от $(x_3, y_3)$ до $(x, y)$. Так что точки $(x_3, y_3)$ лежат на кривой второго порядка. Какой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение16.12.2018, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
mr.vopros в сообщении #1361477 писал(а):
Я понимаю, что $R+r=AC$,

Тут, видимо, $R$ означает $R_1$. Но есть похожее соотношение для $R_2$. Да и точку $M$ не надо забывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение16.12.2018, 00:50 


15/12/18
74
provincialka в сообщении #1361602 писал(а):
Тут, видимо, $R$ означает $R_1$. Но есть похожее соотношение для $R_2$. Да и точку $M$ не надо забывать.

Спасибо, да, именно. Сейчас попробую $R_2-r=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$. Так?

-- 16.12.2018, 00:51 --

1) $(x-x_3)^2+(y-y_3)^2=r^2$ ($r$ - радиус окружности с центром в точке $C(x_3,y_3)$)

Здесь есть три неизвестные $x_3,y_3,r$

2) $r+R_1=AC$ или $r+\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$.

Здесь получаем те же самые три неизвестные $x_3,y_3,r$

3) Далее, 3 уравнение $R_2-r=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$. Так?

Здесь получаем те же самые три неизвестные $x_3,y_3,r$

Получается система из трех уравнений и трех неизвестных. Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение16.12.2018, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Хм... откуда во втором случае взялся $\sqrt{x^2_1 + y_1^2}$? Там что, как-то начало координат участвует?

В остальном правильно. Но вот решать такое в общем виде я бы не взялась...

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение16.12.2018, 01:01 


15/12/18
74
Из второго уравнения получаем, что $r=-\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$.

Подставляем в первое и третье и получаем веселуху=)

1) $(x-x_3)^2+(y-y_3)^2=\left(-\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}\right)^2$

3) $R_2+\sqrt{x_1^2+y_1^2}-\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$.

Спасибо! Осталась пара вопросов, которые остались
1) А получится ли вообще в явном виде выразить? (или только численно на компьютере)
2) Будет ли единственное решение у системы?

-- 16.12.2018, 01:03 --

provincialka в сообщении #1361608 писал(а):
Хм... откуда во втором случае взялся $\sqrt{x^2_1 + y_1^2}$? Там что, как-то начало координат участвует?

Да, это я что-то туплю, там должно быть $R_1$, оно же известно по условию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли эта планиметрическая задача решение?
Сообщение16.12.2018, 02:46 


05/09/16
12038
mr.vopros в сообщении #1361610 писал(а):
2) Будет ли единственное решение у системы?

Нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group