2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение25.09.2012, 10:47 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Доказать, что любую степень шестёрки (с натуральным показателем) можно умножить на некоторое натуральное число так, что получится палиндром (в десятичной записи).

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение25.09.2012, 11:11 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Это верно для всех чисел, не делящихся на 10. Впрочем последние так же удовлетворяют этому свойству, если спереди числа разрешить ставить необходимое количество нулей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 01:32 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Шесть лет прошло, а до доказательства мне так и не удалось додуматься.
Руст, может, хотя бы намекнёте, в чём там соль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 09:52 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
Пусть $inv(A)$ - переворачивает число. Возьмем $inv(2^k)\cdot 10^k+2^k$. Повторяя его можно добиться деления на любое взаимно простое с 10

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 10:46 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Null
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 16:57 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
Null, Ktina, а почему это так ясно, что-то я туплю? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 18:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
waxtep
Мне пока неясно, я пытаюсь вникнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 19:38 


21/05/16
4292
Аделаида
И я.

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 20:41 
Заслуженный участник


12/08/10
1677
Пусть $A$- многозначное число, рассмотрите остатки $A,AA,AAA\dots$ по модулю $m$ взаимно простому с 10 и используйте принцип Дирихле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 23:51 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Null в сообщении #1361409 писал(а):
Повторяя его можно добиться деления на любое взаимно простое с 10

Однако, это еще не решает задачу ("для любого, не кратного 10"): надо еще тот же фокус повторить с числами вида $5^k\cdot q $, где $q$ взаимно просто с 10....

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение16.12.2018, 16:40 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
я, кажется, понял смысл конструкции:
1. Пусть дано $m=2^k\cdot p,5\not{\mid} p$ (двойку и пятерку здесь и далее можно поменять местами); мы ищем палиндром, который бы делился на $m$
2. Возьмем $A=\operatorname{inv}(2^k)\cdot10^k+2^k$ и последовательность палиндромов $A,AA,AA\,A,\ldots$; какие-то из них будут делиться на $m$, потому что там вылезет полная система остатков по модулю $p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение16.12.2018, 17:32 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
waxtep в сообщении #1361704 писал(а):
какие-то из них будут делиться на $m$, потому что там вылезет полная система остатков по модулю $p$

Не, не вылезет, вааще говоря. Надо так: в этом списке есть числа с одинаковым остатком при делении на $p$. Тогда их разность делится на $p$. Но $p$ взаимно просто с 10 - значит, отбросив у разности нули, также получим число того же вида, делящееся на $p$. Но тогда это число делится и на $m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение16.12.2018, 19:44 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
DeBill в сообщении #1361721 писал(а):
в этом списке есть числа с одинаковым остатком при делении на $p$. Тогда их разность делится на $p$.
ой, точно, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group