2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение25.09.2012, 10:47 
Аватара пользователя


01/12/11
8175
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Доказать, что любую степень шестёрки (с натуральным показателем) можно умножить на некоторое натуральное число так, что получится палиндром (в десятичной записи).

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение25.09.2012, 11:11 
Заслуженный участник


09/02/06
4339
Москва
Это верно для всех чисел, не делящихся на 10. Впрочем последние так же удовлетворяют этому свойству, если спереди числа разрешить ставить необходимое количество нулей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 01:32 
Аватара пользователя


01/12/11
8175
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Шесть лет прошло, а до доказательства мне так и не удалось додуматься.
Руст, может, хотя бы намекнёте, в чём там соль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 09:52 
Заслуженный участник


12/08/10
1001
Пусть $inv(A)$ - переворачивает число. Возьмем $inv(2^k)\cdot 10^k+2^k$. Повторяя его можно добиться деления на любое взаимно простое с 10

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 10:46 
Аватара пользователя


01/12/11
8175
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Null
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 16:57 
Аватара пользователя


07/01/16
682
Null, Ktina, а почему это так ясно, что-то я туплю? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 18:34 
Аватара пользователя


01/12/11
8175
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
waxtep
Мне пока неясно, я пытаюсь вникнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 19:38 


21/05/16
2397
Аделаида
И я.

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 20:41 
Заслуженный участник


12/08/10
1001
Пусть $A$- многозначное число, рассмотрите остатки $A,AA,AAA\dots$ по модулю $m$ взаимно простому с 10 и используйте принцип Дирихле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение15.12.2018, 23:51 
Заслуженный участник


10/01/16
1887
Null в сообщении #1361409 писал(а):
Повторяя его можно добиться деления на любое взаимно простое с 10

Однако, это еще не решает задачу ("для любого, не кратного 10"): надо еще тот же фокус повторить с числами вида $5^k\cdot q $, где $q$ взаимно просто с 10....

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение16.12.2018, 16:40 
Аватара пользователя


07/01/16
682
я, кажется, понял смысл конструкции:
1. Пусть дано $m=2^k\cdot p,5\not{\mid} p$ (двойку и пятерку здесь и далее можно поменять местами); мы ищем палиндром, который бы делился на $m$
2. Возьмем $A=\operatorname{inv}(2^k)\cdot10^k+2^k$ и последовательность палиндромов $A,AA,AA\,A,\ldots$; какие-то из них будут делиться на $m$, потому что там вылезет полная система остатков по модулю $p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение16.12.2018, 17:32 
Заслуженный участник


10/01/16
1887
waxtep в сообщении #1361704 писал(а):
какие-то из них будут делиться на $m$, потому что там вылезет полная система остатков по модулю $p$

Не, не вылезет, вааще говоря. Надо так: в этом списке есть числа с одинаковым остатком при делении на $p$. Тогда их разность делится на $p$. Но $p$ взаимно просто с 10 - значит, отбросив у разности нули, также получим число того же вида, делящееся на $p$. Но тогда это число делится и на $m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Палиндром, кратный степени шестёрки
Сообщение16.12.2018, 19:44 
Аватара пользователя


07/01/16
682
DeBill в сообщении #1361721 писал(а):
в этом списке есть числа с одинаковым остатком при делении на $p$. Тогда их разность делится на $p$.
ой, точно, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group