Степени десятки с ЦНП

[Ktina]

Какие степени десятки с ЦНП (Целым Неотрицательным Показателем) представимы в виде суммы факториала и удвоенного квадрата?

Иными словами, решите уравнение в ЦНЧ (Целых Неотрицательных Числах):

$$n!+2m^2=10^k$$

[waxtep]

$n\geqslant3$ убивается по модулю три, и остается всего-то:
$\begin{tabular}{c|c|c} n&k&m\\ \hline 0&0&0\\ 1&0&0\\ 2&1&2\\ 2&2&7 \end{tabular}$
(вариантов с четным/нечетным $m$ для $n=2$ всего по одному из соображений четности)

[Ktina]

waxtep
А почему $k\geqslant 3$ не годится?

[waxtep]

Ktina в сообщении #1361203 писал(а):

почему $k\geqslant 3$ не годится?

для $n=2: 2(m^2+1)=10^k$
1) пусть $m$ - четное, тогда $m^2+1$ - нечетное и может равняться только пяти;
2) пусть $m=2a+1$ - нечетное, тогда $4(2a^2+2a+1)=10^k$; множитель в скобках - нечетный, и может быть только $25$

[Ktina]

waxtep
Большое спасибо!
Но там можно даже ещё проще.

[Ktina]

В общем, там такое дело:

(Оффтоп)

Числа 4 и 49 - квадраты, а вот 499, 4999 и т. д. уже квадратами не будут, так как дарамдаш остаток 3 при делении на 4.