Гармонические числа

[Andrey A]

Ошибка.

[Andrey A]

Чем дольше думаешь над этой задачей, тем интересней. Простая закономерность: степень вхождения простого в каноническое разложение знаменателя суммарной дроби после сокращения равна максимальной степени его вхождения в соответствующие члены натурального ряда. Пока без доказательства. Если хотим получить рациональный квадрат, выходит, и каждое простое должно входить множителем в один из членов нат. ряда как минимум в квадрате. Куб не запрещается, но последовательность степеней вхождения может быть такая: $1,2$ или $2,1$. Но не $3$, и не $1,1,1$. Довольно жесткое ограничение. Возьмем первым членом $48$. $16$ пока устраивает, но тройка требует присутствия кратного девяти. Ближайшее $54$, но между ними уже имеется простое $53$. Доказано. Возьмем первым членом $49$. Годится. Следующее $50$, имеем $2$. Ближайшее $4$-х кратное $52$, между ними $51$, и опять упираемся в простое. Это ведь только необходимое условие квадратности, но и оно не выполняется. Я что-то не понимаю, может нам известных ограничений уже хватает?

[scwec]

Andrey A в сообщении #1361335 писал(а):

степень вхождения простого в каноническое разложение знаменателя суммарной дроби после сокращения равна максимальной степени его вхождения в соответствующие члены натурального ряда

Возьмите $\frac{1}{722}+\frac{1}{723}+\frac{1}{724}+\frac{1}{725}+\frac{1}{726}$.
В знаменателе тройки нет, а в числителе три в квадрате.
По вашему же предположению, если я правильно понял, в знаменателе должна быть тройка в первой степени.

[Andrey A]

Да. Это клин в мозгу. Совершенно упустил из виду, что сумма не кратных простому уже может быть кратна ему. Надо же Значит, это верхняя оценка. Правильно будет так:
Степень вхождения простого в каноническое разложение знаменателя суммарной дроби после сокращения не превышает максимальной степени его вхождения в соответствующие члены натурального ряда. Вероятность такой сократимости зависит от k и от величины простого, но конкретные утверждения становятся невозможны. Предыдущие инсинуации с квадратами ошибочны.

[scwec]

Ранее было отмечено, что если на отрезке $k,n$ имеются простые числа, то $H_n-H_k$ не является квадратом.
Отсутствие простых чисел между $n$ и $k$ усложнило задачу.
По этому поводу предлагаю доказать следующее утверждение, снижающее планку, а именно:
для любого положительного числа $N$ существует бесконечно много пар натуральных $n,k$ таких, что
$n-k>N$; в промежутке между $n$ и $k$ нет простых чисел, включая концы промежутка;
$H_n-H_k$ не является квадратом рационального числа.

[Andrey A]

Ну да, это классический пример. На практике можно воспользоваться китайской теоремой об остатках, задать $n-k$ модулей и найти число, дающее по этим модулям в остатке $1,2,3,...$ и т.д., избегая противоречий. По модулю их произведения такие промежутки, конечно, будут повторяться.

[scwec]

JohnDou удалил свой текст, мной уже прочитанный, вопрос у меня к нему: почему не квадрат?
Andrey A, тот же вопрос.

[Andrey A]

Потому что слона-то я и не применил. Понимаю, утверждение "любое - не квадрат" меняем на "существует не квадрат для любого промежутка". Это надо подумать.

[Andrey A]

К примеру так. Находим некоторый промежуток без простого такой, что $n-k>N$, берем из каждого множителя по наименьшему простому делителю и откидываем повторяющиеся. Перемножая оставшиеся, получаем некий "ущербный праймориал", обозначим его $M$. Если теперь брать весь промежуток по $\mod M$, имеем $n-k$ прогрессий, которые не содержат простых, но содержат сколь угодно много удвоенных, утроенных и т.д. простых, которые с некоторого момента (а вообще-то сразу) будут $>n-k$. Тогда для всех соответствующих промежутков по $\mod M$ можно утверждать, что $H_n-H_k$ не квадрат.

p.s. хороший пример: на промежутке [114,126] ни одного простого, значит и по $\mod 2310$.

[mihiv]

Можно так: пусть $m=2^{2l+1}$, тогда возьмем $k=m!+1, n=m!+2^{2l+1}$. Из всех дробей в $H_n-H_k, 2^{2l+1}$ (наибольшая степень двойки) содержится только в $\frac 1n$.

[scwec]

mihiv, это то, что имелось в виду.
Есть варианты. Например, возьмём любое простое $p>N$ и $k=(p+2)!+1, n=(p+2)!+p+2$.
Из всех натуральных чисел между ними на $p$ делится только $(p+2)!+p$, а на $p^2$ оно не делится (что нужно чуть-чуть доказать). Отсюда всё и следует.
А вот найдутся ли для произвольного целого $N>0$ такие натуральные $n,k$, что $n-k=N$, простых чисел в диапазоне $[k+1,n]$ нет и $H_n-H_k$ не квадрат?

[mihiv]

Если не ошибся, можно доказать и для произвольного $N$. Выберем простое число $p$ и натуральное $m$ такие, что $p<N, N+1<2p<m$. Тогда можно принять $k=m!+1, n=m!+N+1.$ Множитель $p$ содержится только в одном знаменателе $m!+p$ и притом в первой степени.

[scwec]

Да, согласен.
Возвращаясь назад, остается доказать, что для произвольных натуральных $n>k$ разность $H_n-H_k$
не является квадратом рационального числа.