2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение14.12.2018, 12:43 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение14.12.2018, 16:55 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Чем дольше думаешь над этой задачей, тем интересней. Простая закономерность: степень вхождения простого в каноническое разложение знаменателя суммарной дроби после сокращения равна максимальной степени его вхождения в соответствующие члены натурального ряда. Пока без доказательства. Если хотим получить рациональный квадрат, выходит, и каждое простое должно входить множителем в один из членов нат. ряда как минимум в квадрате. Куб не запрещается, но последовательность степеней вхождения может быть такая: $1,2$ или $2,1$. Но не $3$, и не $1,1,1$. Довольно жесткое ограничение. Возьмем первым членом $48$. $16$ пока устраивает, но тройка требует присутствия кратного девяти. Ближайшее $54$, но между ними уже имеется простое $53$. Доказано. Возьмем первым членом $49$. Годится. Следующее $50$, имеем $2$. Ближайшее $4$-х кратное $52$, между ними $51$, и опять упираемся в простое. Это ведь только необходимое условие квадратности, но и оно не выполняется. Я что-то не понимаю, может нам известных ограничений уже хватает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение15.12.2018, 11:09 
Заслуженный участник


17/09/10
1805
Andrey A в сообщении #1361335 писал(а):
степень вхождения простого в каноническое разложение знаменателя суммарной дроби после сокращения равна максимальной степени его вхождения в соответствующие члены натурального ряда

Возьмите $\frac{1}{722}+\frac{1}{723}+\frac{1}{724}+\frac{1}{725}+\frac{1}{726}$.
В знаменателе тройки нет, а в числителе три в квадрате.
По вашему же предположению, если я правильно понял, в знаменателе должна быть тройка в первой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение15.12.2018, 12:16 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Да. Это клин в мозгу. Совершенно упустил из виду, что сумма не кратных простому уже может быть кратна ему. Надо же :oops: Значит, это верхняя оценка. Правильно будет так:
Степень вхождения простого в каноническое разложение знаменателя суммарной дроби после сокращения не превышает максимальной степени его вхождения в соответствующие члены натурального ряда. Вероятность такой сократимости зависит от k и от величины простого, но конкретные утверждения становятся невозможны. Предыдущие инсинуации с квадратами ошибочны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение15.12.2018, 22:24 
Заслуженный участник


17/09/10
1805
Ранее было отмечено, что если на отрезке $k,n$ имеются простые числа, то $H_n-H_k$ не является квадратом.
Отсутствие простых чисел между $n$ и $k$ усложнило задачу.
По этому поводу предлагаю доказать следующее утверждение, снижающее планку, а именно:
для любого положительного числа $N$ существует бесконечно много пар натуральных $n,k$ таких, что
$n-k>N$; в промежутке между $n$ и $k$ нет простых чисел, включая концы промежутка;
$H_n-H_k$ не является квадратом рационального числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение15.12.2018, 23:31 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Ну да, это классический пример. На практике можно воспользоваться китайской теоремой об остатках, задать $n-k$ модулей и найти число, дающее по этим модулям в остатке $1,2,3,...$ и т.д., избегая противоречий. По модулю их произведения такие промежутки, конечно, будут повторяться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение15.12.2018, 23:44 
Заслуженный участник


17/09/10
1805
JohnDou удалил свой текст, мной уже прочитанный, вопрос у меня к нему: почему не квадрат?
Andrey A, тот же вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение16.12.2018, 00:28 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
Потому что слона-то я и не применил. Понимаю, утверждение "любое - не квадрат" меняем на "существует не квадрат для любого промежутка". Это надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение16.12.2018, 01:59 


21/11/12
767
Санкт-Петербург
К примеру так. Находим некоторый промежуток без простого такой, что $n-k>N$, берем из каждого множителя по наименьшему простому делителю и откидываем повторяющиеся. Перемножая оставшиеся, получаем некий "ущербный праймориал", обозначим его $M$. Если теперь брать весь промежуток по $\mod M$, имеем $n-k$ прогрессий, которые не содержат простых, но содержат сколь угодно много удвоенных, утроенных и т.д. простых, которые с некоторого момента (а вообще-то сразу) будут $>n-k$. Тогда для всех соответствующих промежутков по $\mod M$ можно утверждать, что $H_n-H_k$ не квадрат.

p.s. хороший пример: на промежутке [114,126] ни одного простого, значит и по $\mod 2310$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение16.12.2018, 11:34 
Заслуженный участник


03/01/09
1327
москва
Можно так: пусть $m=2^{2l+1}$, тогда возьмем $k=m!+1, n=m!+2^{2l+1}$. Из всех дробей в $H_n-H_k, 2^{2l+1}$ (наибольшая степень двойки) содержится только в $\frac 1n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение16.12.2018, 14:58 
Заслуженный участник


17/09/10
1805
mihiv, это то, что имелось в виду.
Есть варианты. Например, возьмём любое простое $p>N$ и $k=(p+2)!+1, n=(p+2)!+p+2$.
Из всех натуральных чисел между ними на $p$ делится только $(p+2)!+p$, а на $p^2$ оно не делится (что нужно чуть-чуть доказать). Отсюда всё и следует.
А вот найдутся ли для произвольного целого $N>0$ такие натуральные $n,k$, что $n-k=N$, простых чисел в диапазоне $[k+1,n]$ нет и $H_n-H_k$ не квадрат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение16.12.2018, 17:01 
Заслуженный участник


03/01/09
1327
москва
Если не ошибся, можно доказать и для произвольного $N$. Выберем простое число $p$ и натуральное $m$ такие, что $p<N, N+1<2p<m$. Тогда можно принять $k=m!+1, n=m!+N+1.$ Множитель $p$ содержится только в одном знаменателе $m!+p$ и притом в первой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические числа
Сообщение16.12.2018, 18:29 
Заслуженный участник


17/09/10
1805
Да, согласен.
Возвращаясь назад, остается доказать, что для произвольных натуральных $n>k$ разность $H_n-H_k$
не является квадратом рационального числа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group