2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 polynomial P(x) is in O(e^(ln⁡x)^λ)
Сообщение07.12.2018, 17:50 
Аватара пользователя


26/01/09
137
made in USSR
В хорошем курсе на курсере есть такая задачка. В оригинале звучащая: For which constants $\lambda$ is it true that any polynomial $P(x)$ is in $O(e^{\ln^\lambda(x)})$
Сразу говорю, я не профессиональный математик, так что объяснение может быть наивным.

Я понимаю что надо найти при каких $\lambda$ при $x\rightarrow\infty$ функция $e^{\ln^\lambda(x)}$ растет быстрее чем любой полином $x^n$

при этом будет выполняться условие: $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{\ln^\lambda(x)}}{x^n}>C$

преобразуем:
$\frac{e^{\ln^\lambda(x)}}{x^n}=x^{-n}e^{\ln^\lambda(x)}=\left(e^{\ln(x)}\right)^{-n}e^{\ln^\lambda(x)}=e^{-n\ln(x)}e^{\ln^\lambda(x)}=e^{\ln^{\lambda}(x)-n\ln(x)}$

нам надо чтобы при $x\rightarrow\infty$ степень экспоненты монотонно росла

$\ln^\lambda(x)-n\ln(x)=\ln(x)(\ln^{\lambda-1}(x)-n)$

тут видим что при $\lambda\leq1$ выражение $<0$ то есть монотонного роста нет

а при $\lambda>1$ обязательно будет такое x , при котором $\ln^{\lambda-1}(x)\;$ станет больше n, и с этого момента степень у экспоненты будет положительна и монотонно возрастающая при $x\rightarrow\infty$

то есть ответ: при $\lambda>1$

правильны ли мои рассуждения ? (ответ правильный, я это знаю)

 Профиль  
                  
 
 Re: polynomial P(x) is in O(e^(ln⁡x)^λ)
Сообщение14.12.2018, 04:13 
Заслуженный участник


18/01/15
3225
В общем, правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: polynomial P(x) is in O(e^(ln⁡x)^λ)
Сообщение14.12.2018, 08:00 
Аватара пользователя


26/01/09
137
made in USSR
vpb в сообщении #1361225 писал(а):
В общем, правильно.


Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group