polynomial P(x) is in O(e^(ln⁡x)^λ)

[dp]

В хорошем курсе на курсере есть такая задачка. В оригинале звучащая: For which constants $\lambda$ is it true that any polynomial $P(x)$ is in $O(e^{\ln^\lambda(x)})$
Сразу говорю, я не профессиональный математик, так что объяснение может быть наивным.

Я понимаю что надо найти при каких $\lambda$ при $x\rightarrow\infty$ функция $e^{\ln^\lambda(x)}$ растет быстрее чем любой полином $x^n$

при этом будет выполняться условие: $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{\ln^\lambda(x)}}{x^n}>C$

преобразуем:
$\frac{e^{\ln^\lambda(x)}}{x^n}=x^{-n}e^{\ln^\lambda(x)}=\left(e^{\ln(x)}\right)^{-n}e^{\ln^\lambda(x)}=e^{-n\ln(x)}e^{\ln^\lambda(x)}=e^{\ln^{\lambda}(x)-n\ln(x)}$

нам надо чтобы при $x\rightarrow\infty$ степень экспоненты монотонно росла

$\ln^\lambda(x)-n\ln(x)=\ln(x)(\ln^{\lambda-1}(x)-n)$

тут видим что при $\lambda\leq1$ выражение $<0$ то есть монотонного роста нет

а при $\lambda>1$ обязательно будет такое x , при котором $\ln^{\lambda-1}(x)\;$ станет больше n, и с этого момента степень у экспоненты будет положительна и монотонно возрастающая при $x\rightarrow\infty$

то есть ответ: при $\lambda>1$

правильны ли мои рассуждения ? (ответ правильный, я это знаю)

[vpb]

В общем, правильно.

[dp]

vpb в сообщении #1361225 писал(а):

В общем, правильно.

Спасибо!