Число и его делители

[Ktina]

1) Докажите, что ни одно натуральное число не может:

а) Оканчиваться на 10 и иметь ровно 10 делитетей;

б) Оканчиваться на 100 и иметь ровно 100 делитетей;

в) Оканчиваться на 1000 и иметь ровно 1000 делитетей.

2) Может ли натуральное число оканчиваться на 10000 и иметь ровно 10000 делителей?

[mihaild]

а) 1250
б) действительно не может
в) 8843436600416711296395624307507609160822784373182752138264272353452638006438325307362823683555623143998000429000857255523322981321555913414300675867707468569278717041015625000
2) может

[kotenok gav]

mihaild в сообщении #1360604 писал(а):

1250

Оканчивается на 50.

mihaild в сообщении #1360604 писал(а):

8843436600416711296395624307507609160822784373182752138264272353452638006438325307362823683555623143998000429000857255523322981321555913414300675867707468569278717041015625000

Оканчивается на 5000.

[Aritaborian]

kotenok gav, к формулировке задачи, разумеется, можно докапываться как угодно, но вот я рассмотрел бы её точно так же, как и уважаемый mihaild, в том смысле, что «оканчиваться на 10» значит заканчиваться нулём, «оканчиваться на 100» значит заканчиваться двумя нулями ну и etc. Пусть ТС придёт и нас всех рассудит.

[Shadow]

Нет, "оканчиваться на 10" и "делится на 10" - разные вещи. Тем более нужно доказать, что такие числа не существуют. Так как такие числа можно представить в виде

$100a+10=10(10a+1)$ в виду взаимной простоты сомножителей и мултипликативность функции делителей, то число делителей таких чисел всегда делится на 4. Другие аналогично.

-- 12.12.2018, 09:35 --

Shadow в сообщении #1360649 писал(а):

функции делителей, то число делителей таких чисел всегда делится на 4

Вот почему у меня всегда были проблемы по литературе. Мог бы написать "кратное 4"

В общем виде, может ли число, оканчивающее на $10^n$ делится на $10^n$
Может, если $n+1=2^a\cdot 5^b$

-- 12.12.2018, 09:45 --

осторожнее. Должно выполняться $(n+1)^2 \mid 10^n$

[Yadryara]

Уже сказано ведь неким автором:

Ktina в сообщении #1179061 писал(а):

Формулировать чётче задачи надо, однако.

Лично я поддержу kotenok gav. Это не докапывание. Русским языком сказано "Оканчиваться на 10", значит оканчиваться на "10". То бишь числа $10$, $110$, $210$ и так далее.

[Aritaborian]

Прастихосспади, это ж Ktina; можно подумать, вы все, уважаемые господа, подобные ярденины задачи впервые видите; можно было бы уже и привыкнуть к тому, что всё это нужно делить на восемь, промывать в щёлоке и потом с лупой рассматривать сухой остаток.

[Ktina]

Aritaborian в сообщении #1360623 писал(а):

kotenok gav, к формулировке задачи, разумеется, можно докапываться как угодно, но вот я рассмотрел бы её точно так же, как и уважаемый mihaild, в том смысле, что «оканчиваться на 10» значит заканчиваться нулём, «оканчиваться на 100» значит заканчиваться двумя нулями ну и etc. Пусть ТС придёт и нас всех рассудит.

Как сказал когда-то один из мастеров Дзен-буддизма, когда я произношу слово «солнце», я подразумеваю это самое солнце. Или Ярдену Арази.

[mihaild]

Всё честно, я невнимательно прочитал условие (точнее неправильно его переписал - надо было смотреть на числа вида $100k + 10$, а я смотрел на числа вида $10k$). Формулировка совершенно нормальная и двоякого толкования не допускает.