Преобразование Лоренца, СТО

[rustot]

Допустим палка параллельная $x$ движется вдоль $y$ под действием постоянной силы, то есть "с постоянной перегрузкой" и назовем это "релятивистски равноускоренным" движением

Уравнением движения любой точки палки будет $x(t) = \operatorname{const}, y(t) = c(\sqrt{t^2+k^2}-k)$

Преобразовать эти уравнения в другую исо, движущуюся относительно исходной со скоростью $v$ вдоль оси $x$, то есть найти $x'(t'), y'(t')$, а точнее $y'(x', t')$ поскольку они уже окажутся разными для разных точек палки. Взяв какое то фиксированное $t'$ можно будет найти форму палки в этот момент $y'(x')$

[Munin]

topSC
Это перевод. А вы мне объясните своё понимание смысла задачи.

[topSC]

rustot в сообщении #1359982 писал(а):

$x(t) = \operatorname{const}, y(t) = c(\sqrt{t^2+k^2}-k)$

Какие соображения приводят к уравнению на $y$? Проделав преобразования, получил какую-то гиперболу:

$$\left(\frac{y'}{ck}+1\right)^2- \left(\frac{ct'+\beta x'}{\gamma(1-\beta^2)} \right)^2=1$$

-- 10.12.2018, 16:42 --

Munin в сообщении #1359991 писал(а):

А вы мне объясните своё понимание смысла задачи.

Палку начали равноускоренно двигать в одной системе координат. Потом захотели перейти в другую систему координат и посмотреть на форму палки. Для этого начали двигать уже ускоренные координаты нашей палки.

[Munin]

topSC в сообщении #1360246 писал(а):

Проделав преобразования

Покажите, как.

topSC в сообщении #1360246 писал(а):

Для этого начали двигать уже ускоренные координаты нашей палки.

Что это в математическом формализме значит?

[topSC]

$ct'=\gamma (ct-\beta x),\,\, x'=\gamma(x-\beta ct),\,\, y'=y, \,\, z'=z,$ где $\beta=v/c$ и $\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}.$

$$x'=\gamma(x-\beta ct) \Rightarrow \gamma x=x'+\gamma \beta ct$$

$$ct'=\gamma (ct-\beta x) \Rightarrow t=\frac{\gamma}{c}(ct'+\beta x')$$

$$y'(x',t')=c\left(\sqrt{\frac{\gamma^2}{c^2}(ct'+\beta x')^2+k^2} -k\right)$$

$$\left(y'+ck \right)^2-\gamma^2 (ct'+\beta x')^2=c^2k^2$$

-- 10.12.2018, 17:37 --

Munin в сообщении #1360254 писал(а):

Что это в математическом формализме значит?

Что к ускоренным координатам в первой ИСО применили п.Л. А что такое ускоренные координаты?

[Munin]

topSC в сообщении #1360256 писал(а):

$ct'=\gamma (ct-\beta x),\,\, x'=\gamma(x-\beta ct),\,\, y'=y, \,\, z'=z,$ где $\beta=v/c$ и $\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}.$

Первый вопрос: почему вы берёте буст в направлении оси $x$? Нигде в условиях этого не сказано.

topSC в сообщении #1360256 писал(а):

$$x'=\gamma(x-\beta ct) \Rightarrow \gamma x=x'+\gamma \beta ct$$

$$ct'=\gamma (ct-\beta x) \Rightarrow t=\frac{\gamma}{c}(ct'+\beta x')$$

Обращение преобразований Лоренца надо знать: это те же преобразования Лоренца с противоположной скоростью $-v$ ($-\mathbf{v}$).

topSC в сообщении #1360256 писал(а):

$$y'(x',t')=c\left(\sqrt{\frac{\gamma^2}{c^2}(ct'+\beta x')^2+k^2} -k\right)$$

Откуда это свалилось?

[rustot]

topSC в сообщении #1360246 писал(а):

Какие соображения приводят к уравнению на $y$?

$\vec{F} = \frac{d}{dt}(\gamma\vec{v})$. Для сонаправленных $\vec{v}$ и $\vec{F}$ получится $\frac{F}{m} = \gamma^3\frac{d}{dt}v$, что для константного $F$ и начальных условий $v(0) = 0$ дает решение $v = c\frac{t}{\sqrt{t^2 + k^2}}$, где $k = \frac{m c}{F}$. Ну и если это все направлено вдоль $y$ и начального условия $y(0) = 0$ получается $y = c(\sqrt{t^2 + k^2} - k)$

[Munin]

rustot
Зачем здесь вообще сила? Задача чисто кинематическая. По элементарной аналитической геометрии.

[topSC]

Munin в сообщении #1360260 писал(а):

Первый вопрос: почему вы берёте буст в направлении оси $x$? Нигде в условиях этого не сказано.

Это предполагается по умолчанию. Но я не против разобрать задачу без этого предположения.

Munin в сообщении #1360260 писал(а):

Откуда это свалилось?

Подставил $t(x',t')$ в $y'=y(t)$

rustot в сообщении #1359982 писал(а):

Уравнением движения любой точки палки будет $x(t) = \operatorname{const}, y(t) = c(\sqrt{t^2+k^2}-k)$

-- 10.12.2018, 20:21 --

rustot, понял, спасибо!
Munin, ну так вроде очень понятная интерпретация ускорения (как нагрузка на тело). Из каких чисто математических соображений записать равноускоренные координаты?

[rustot]

Munin в сообщении #1360294 писал(а):

Зачем здесь вообще сила? Задача чисто кинематическая. По элементарной аналитической геометрии.

Потому-что исходя из условия "постоянная перегрузка", постоянная приложенная сила

Кинематически она решается видимо исходя из условия "относительно любой исо зависимость ускорения от скорости одинаковая", которое не очень понятно откуда берется.

[Munin]

topSC в сообщении #1360307 писал(а):

Это предполагается по умолчанию.

А вот и нет. Ничего подобного не предполагается.

topSC в сообщении #1360307 писал(а):

Подставил $t(x',t')$ в $y'=y(t)$

Написанное другим участником из неверных соображений, и просто ошибочное. Далеко пойдёте...

topSC в сообщении #1360307 писал(а):

Munin, ну так вроде очень понятная интерпретация ускорения (как нагрузка на тело).

Понятная, но неверная. Если её правильно воплотить, получится не то, что у вас спрашивают в задаче.

topSC в сообщении #1360256 писал(а):

А что такое ускоренные координаты?

topSC в сообщении #1360307 писал(а):

Из каких чисто математических соображений записать равноускоренные координаты?

НЕТУ там никаких ускоренных координат, к счастью!!!

rustot в сообщении #1360328 писал(а):

Потому-что исходя из условия "постоянная перегрузка"

И условия такого нету.

rustot в сообщении #1360328 писал(а):

Кинематически она решается видимо исходя из условия "относительно любой исо зависимость ускорения от скорости одинаковая", которое не очень понятно откуда берется.

Кинематически она решается исходя из того, что сечения параболического цилиндра суть параболы.

[topSC]

Munin в сообщении #1360333 писал(а):

А вот и нет. Ничего подобного не предполагается.

В смысле это предполагается для данной задачи по умолчанию. Перед её условием были написаны п.Л. с бустом по оси $x$. Вообще, конечно, нет. А какую роль играет этот буст? Почему часто его делают именно по оси $x$?

Munin в сообщении #1360333 писал(а):

Кинематически она решается исходя из того, что сечения параболического цилиндра суть параболы.

Откуда взялся параболический цилиндр?

-- 10.12.2018, 22:24 --

Кажется, я понял, где ошибка: должно быть $y(t)=\dfrac{c}{a}(\sqrt{a^2t^2+c^2}-c)$

-- 10.12.2018, 22:31 --

А, так нет никакой ошибки... $k=c/a$

-- 10.12.2018, 22:47 --

Munin, ниже есть какое-то несоответствие условию задачи?
Вдоль оси $y$ имеем $\dfrac{dv_y}{dt}=\dfrac{dv'_y}{dt'} \dfrac{(1-v^2/c^2)^{3/2}}{(1+v'_y v/c^2)^3};$ $v_y=v,\,\, v'_y=0;$ $\dfrac{dv}{dt}=a(1-v^2/c^2)^{3/2};$ $v(0)=0, \, \, v=\dfrac{at}{1+a^2t^2/c^2};$ $y(0)=0,\,\, y=\dfrac{c^2}{a}(\sqrt{1+a^2 t^2/c^2}-1)$

[Munin]

topSC в сообщении #1360336 писал(а):

А какую роль играет этот буст? Почему часто его делают именно по оси $x$?

На примере вдоль конкретной оси - яснее видна структура буста. А если сразу дать формулу для произвольного направления, ученики только запутаются и ничего не поймут.

topSC в сообщении #1360336 писал(а):

Откуда взялся параболический цилиндр?

А вот это вы и должны разобраться.

topSC в сообщении #1360336 писал(а):

Кажется, я понял, где ошибка: должно быть $y(t)=\dfrac{c}{a}(\sqrt{a^2t^2+c^2}-c)$

Вот что это и откуда?

[topSC]

Munin в сообщении #1360342 писал(а):

Вот что это и откуда?

Я ниже вывод написал: взял две системы, одна движется относительно другой со скоростью $v$. Записал скорость, время. Записал $dv/dt$ и обозначил ускорение во второй системе $a$. Потом два раза интегрирование.

-- 10.12.2018, 23:52 --

То есть в каждый момент времени рассматриваем собственную систему палки и в ней ускорение остаётся постоянным. Затем мы смотрим на координаты этой палки в какой-то другой системе.

[Munin]

Понятно. Значит, вы задачи не поняли.

Более простая задача: есть движение точки $x(t),$ найти, как оно выглядит в системе $S'.$ Решается путём подстановки преобразований Лоренца в это движение. По сути, вы проводите в 4-мерном пространстве-времени линию, и преобразовываете её к новым координатам.

В данном случае, вам в 4-мерном пространстве-времени проведена 2-мерная поверхность. Однозначно заданная, безо всяких скоростей. (И она как раз - параболический цилиндр.) Именно её надо преобразовать к новым координатам. (Получится тоже параболический цилиндр, но поскольку повёрнутый, то его сечения $t'=\mathrm{const}$ будут параболами - что и требуется показать.)