NickspaОшибка случилась. Я перепутал "формулу орбит" (которая выше) с формулой Бернсайда. Практически, при изучении действия конечных групп на множествах формула Бернсайда (почти) никогда не используется, а используется формула орбит, поэтому я и забыл о ее существовании.
(Оффтоп)
Гораздо чаще используется аналог формулы Бернсайда, когда надо посчитать размерность пространства инвариантных векторов в линейном представлении.
Формула Бернсайда --- это вот что:

Здесь

--- конечная группа, действующая на множестве

,

--- множество орбит,

--- число неподвижных точек элемента

на

;

--- число классов сопряженности,

--- сами эти классы,

--- их представители,

--- централизатор элемента

в группе

.
Применим к нашему случаю. Считаем уже известным, что группа вращений куба изоморфна

. Представители классов в

:

,

,

,

,

. Порядки их централизаторов:

,

,

,

и

соответственно. Надо сообразить сначала, какие классы соответствуют вращениям куба какого типа. Очевидно,

--- тождественному "вращению". Затем, пусть

--- вращение, третьего порядка, вокруг "длинной" диагонали (соединяющей противоположные вершины). Поскольку в

всего один класс элементов порядка

, то можно считать, что

соответствует (с точностью до сопряженности) циклу

. Какого типа вращения соответствуют элементам

,

,

--- можете подумать сами (если есть еще интерес).
Посмотрим, какой вклад в сумму в формуле Бернсайда вносит 3-класс. Порядок централизатора элемента

---

. Раскрасок, инвариантных относительно

, как легко понять,

штук (это вытекает из того, что

имеет на гранях две орбиты). Поэтому соответствующее слагаемое есть

. Остальные слагаемые предлагается посчитать самостоятельно (отметим, что они не обязательно будут целыми).