Формула Бернсайда

[Nickspa]

Задача из Винберга.
Пользуясь формулой Бернсайда и разбиением группы вращений куба на классы сопряжённых элементов найти число существенно различных (т.е. не совмещаемых путём вращений куба) раскрасок граней куба в 3 цвета.

Группа вращений куба - $S_4$. Классов сопряжённых элементов - пять (тождественное преобразование, шесть циклов длины 2, восемь длины 3, шесть длины 4 и группа Клейна без единичного элемента).

Как это и формулу Бернсайда "прикрутить" к решению задачи?

[vpb]

Написать, как-нибудь, предполагаемых представителей орбит, для каждого найти стабилизатор (и тем самым его порядок), и затем проверить, с помощью формулы, что других орбит нет.

[vpb]

Nickspa
Задачи типа "найти все орбиты группы $G$, действующей на множестве $\Omega$", обычно решаются так. Сначала из каких-то соображений предъявляется множество $\{\omega_1,\ldots,\omega_l\}$ такое, что каждая точка из $\Omega$ сопряжена относительно $G$, предположительно, с одним из $\omega_i$. Затем находятся группы $H_i={\rm St}_G(\omega_i)$, т.е. стабилизаторы этих элементов. А формула Бернсайда

$$|\Omega|=\sum_{i=1}^l|\Omega_i|=\sum_{i=1}^l|G|/|H_i| $$

служит лишь для того, чтобы убедиться, что мы, прикидывая, какие есть орбиты, ничего не пропустили.

А при чем в данной задаче классы сопряженности --- бог весть.

[vpb]

Nickspa
Ошибка случилась. Я перепутал "формулу орбит" (которая выше) с формулой Бернсайда. Практически, при изучении действия конечных групп на множествах формула Бернсайда (почти) никогда не используется, а используется формула орбит, поэтому я и забыл о ее существовании.

(Оффтоп)

Гораздо чаще используется аналог формулы Бернсайда, когда надо посчитать размерность пространства инвариантных векторов в линейном представлении.

Формула Бернсайда --- это вот что:

$$ |\Omega/G|=\frac1{|G|} \sum_{g\in G}\chi(g)=\frac1{|G|} \sum_{i=1}^l\chi(g_i)|C_i|=\sum_{i=1}^l\chi(g_i)/|C_G(g_i)|. $$

Здесь $G$ --- конечная группа, действующая на множестве $\Omega$, $\Omega/G$ --- множество орбит, $\chi(g)$ --- число неподвижных точек элемента $g\in G$ на $\Omega$ ; $l$ --- число классов сопряженности, $C_1,\ldots,C_l$ --- сами эти классы, $g_1,\ldots,g_l$ --- их представители, $C_G(g)$ --- централизатор элемента $g$ в группе $G$.

Применим к нашему случаю. Считаем уже известным, что группа вращений куба изоморфна $S_4$. Представители классов в $S_4$ : $e$, $(12)$, $(123)$, $(1234)$, $(12)(34)$. Порядки их централизаторов: $24$, $4$, $3$, $4$ и $8$ соответственно. Надо сообразить сначала, какие классы соответствуют вращениям куба какого типа. Очевидно, $e$ --- тождественному "вращению". Затем, пусть $\Phi$ --- вращение, третьего порядка, вокруг "длинной" диагонали (соединяющей противоположные вершины). Поскольку в $S_4$ всего один класс элементов порядка $3$, то можно считать, что $\Phi$ соответствует (с точностью до сопряженности) циклу $(123)$. Какого типа вращения соответствуют элементам $(12)$, $(12)(34)$, $(1234)$ --- можете подумать сами (если есть еще интерес).

Посмотрим, какой вклад в сумму в формуле Бернсайда вносит 3-класс. Порядок централизатора элемента $(123)$ --- $3$. Раскрасок, инвариантных относительно $\Phi$, как легко понять, $9$ штук (это вытекает из того, что $\Phi$ имеет на гранях две орбиты). Поэтому соответствующее слагаемое есть $\chi((123))/|C_{S_4}((123))|=9/3=3$. Остальные слагаемые предлагается посчитать самостоятельно (отметим, что они не обязательно будут целыми).