Любопытное нелинейное диофантово уравнение

[yan01]

Всем добрый вечер!
Захотел я попробовать решить это нелинейное диофантово уравнение: $\mathbf{a^3 + b^4 = c^2}$
Первое, с чего я начал, это попытаться преобразовать выражение и представить в виде разности квадратов:

$$c^2 = a^3 + b^4$$

$$(c + b^2)(c-b^2) = a^3.$$

Пусть

$$\left\{ \begin{array}{rcl} c+b^2=k; \\ c-b^2=t; \\ k>t.\\ \end{array} \right.$$

Тогда составим систему, пользуясь этой информацией:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} kt = a^3; \\[4pt] \frac{k-t}{2} = b^2; \\[6pt] \frac{k+t}{2} = c. \\ \end{array} \right. (\ast) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} \sqrt[3]{kt} = a; \\[4pt] \sqrt{\frac{k-t}{2}} = b; \\[6pt] \frac{k+t}{2} = c. \\ \end{array}\right. (\ast_1)$$

Соответственно, нужно найти такие $k$ и $t$, чтобы выполнялись одновременно эти условия.
Из этого удалось только понять, что $k$ и $t$ должны быть одной чётности. Далее я не знал, что делать.
Столкнувшись с этой проблемой, я попытался подобрать решения — это получилось сделать: найдены две тройки чисел $a$, $b$, $c$:

$$\begin{tabular}{lrc} a & b & c & \\ \hline 2 & 1 & 3\\ 6 & 5 & 29 \end{tabular}$$

Если посчитать $k$ и $t$ и подставить в систему $(\ast)$, то все три выражения будут, соответственно, натуральными кубами, квадратами и просто числом.
Что делать дальше, подскажите, пожалуйста, дорогие математики?
Всем спасибо за помощь.

[Andrey A]

$k>t$ лишнее: $k-t=2b^2$. Далее хорошо бы определиться, является ли тройка $a,b,c$ взаимно простой. Попробуйте назначить $\gcd (a,b,c)=d>1$ и выяснить для начала к чему это ведет.

[yan01]

А что при этом нужно сделать? Представить, что есть общий множитель, и вынести за скобку?

$$d^2c^2-d^3a^3-d^4b^4 = 0 \Longleftrightarrow d^2(c^2-da^3-d^2b^4)=0$$

Или не так?

[victor.l]

$a^9+a^8b^4=a^8c^2$

[Andrey A]

yan01 в сообщении #1359916 писал(а):

Или не так?

Так. Теперь выражение в скобках $=0$, и что-то еще отсюда следует.

[yan01]

К сожалению, не смог понять, что из этого следует.

[warlock66613]

yan01, там для $d$ ведь квадратное уравнение получается.

[Andrey A]

yan01 в сообщении #1361363 писал(а):

К сожалению, не смог понять, что из этого следует.

Много советов, и все правильные. Могу добавить еще: если $a+b+c=0$ и $a,b$ кратны $d$, то и $c$ кратно $d$. Однако, нет хорошего ответа на плохо поставленный вопрос. Вы выбираете нестандартное уравнение, каких можно придумать много, и говорите о решении. Под решением априори подразумевается общее решение. Тогда приходится разбираться с общими делителями (это не из вредности), и можно придти к заключению, что любой куб - разность квадратов, любой квадрат можно домножить на другой квадрат так чтобы получилась $4$-я степень, а если он еще окажется $6$-й степенью, то и куб останется кубом. Пример: $15^2-3^2=6^3$. Домножая всё на 729, получаем $405^2-9^4=54^3$. Радости от такого решения, правда, немного. Если же тут гипотеза Била замешана, и нужны вз. простые тройки, то надо исходить из уравнения $xy=z^3$ при вз. простых $x,y$ или $\gcd (x,y)=2$, но такое решение не будет общим. Так или иначе, думать придется самостоятельно.

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1361382 писал(а):

... и нужны вз. простые тройки

Маленькое: $5^4+6^3=29^2$.

[yan01]

Кто-нибудь знает, а можно привести решение этого уравнения к такому виду, чтобы через произвольные натуральные числа по определённому выражению находились любые решения уравнения?

Как получилось с уравнением $a^2 + b^2 = c^2$, где $a, b, c$ выражалось через произвольные целые числа $m, n$:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} m^2-n^2=a \\ 2mn=b \\ m^2+n^2=c \\ m>n \\ \end{array} \right.$$

[Andrey A]

$a=21,\ b=28,\ c=35.$ Каковы $m,n$?