2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение08.12.2018, 19:06 


06/01/18
48
Всем добрый вечер!
Захотел я попробовать решить это нелинейное диофантово уравнение: $\mathbf{a^3 + b^4 = c^2}$
Первое, с чего я начал, это попытаться преобразовать выражение и представить в виде разности квадратов:
$$c^2 = a^3 + b^4$$
$$(c + b^2)(c-b^2) = a^3.$$
Пусть $$\left\{
\begin{array}{rcl}
 c+b^2=k; \\ 
 c-b^2=t; \\
 k>t.\\
\end{array}
\right.$$
Тогда составим систему, пользуясь этой информацией:
$$\left\{
\begin{array}{rcl} 
 kt = a^3; \\[4pt]
 \frac{k-t}{2} = b^2;  \\[6pt]
 \frac{k+t}{2} = c. \\
\end{array}
\right. (\ast)
 \Longleftrightarrow \left\{
\begin{array}{rcl}
 \sqrt[3]{kt} = a; \\[4pt]
 \sqrt{\frac{k-t}{2}} = b; \\[6pt]
 \frac{k+t}{2} = c. \\
\end{array}\right. (\ast_1)$$
Соответственно, нужно найти такие $k$ и $t$, чтобы выполнялись одновременно эти условия.
Из этого удалось только понять, что $k$ и $t$ должны быть одной чётности. Далее я не знал, что делать.
Столкнувшись с этой проблемой, я попытался подобрать решения — это получилось сделать: найдены две тройки чисел $a$, $b$, $c$: $$\begin{tabular}{lrc}
a & b & c & \\
\hline
2 & 1 & 3\\
6 & 5 & 29
\end{tabular}$$
Если посчитать $k$ и $t$ и подставить в систему $(\ast)$, то все три выражения будут, соответственно, натуральными кубами, квадратами и просто числом.
Что делать дальше, подскажите, пожалуйста, дорогие математики?
Всем спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение08.12.2018, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
$k>t$ лишнее: $k-t=2b^2$. Далее хорошо бы определиться, является ли тройка $a,b,c$ взаимно простой. Попробуйте назначить $\gcd (a,b,c)=d>1$ и выяснить для начала к чему это ведет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение09.12.2018, 07:56 


06/01/18
48
А что при этом нужно сделать? Представить, что есть общий множитель, и вынести за скобку?
$$d^2c^2-d^3a^3-d^4b^4 = 0 \Longleftrightarrow d^2(c^2-da^3-d^2b^4)=0$$
Или не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение09.12.2018, 09:45 


29/10/11
94
$a^9+a^8b^4=a^8c^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение09.12.2018, 10:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
yan01 в сообщении #1359916 писал(а):
Или не так?

Так. Теперь выражение в скобках $=0$, и что-то еще отсюда следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение14.12.2018, 19:32 


06/01/18
48
К сожалению, не смог понять, что из этого следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение14.12.2018, 20:53 
Заслуженный участник


02/08/11
7003
yan01, там для $d$ ведь квадратное уравнение получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение15.12.2018, 01:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
yan01 в сообщении #1361363 писал(а):
К сожалению, не смог понять, что из этого следует.

Много советов, и все правильные. Могу добавить еще: если $a+b+c=0$ и $a,b$ кратны $d$, то и $c$ кратно $d$. Однако, нет хорошего ответа на плохо поставленный вопрос. Вы выбираете нестандартное уравнение, каких можно придумать много, и говорите о решении. Под решением априори подразумевается общее решение. Тогда приходится разбираться с общими делителями (это не из вредности), и можно придти к заключению, что любой куб - разность квадратов, любой квадрат можно домножить на другой квадрат так чтобы получилась $4$-я степень, а если он еще окажется $6$-й степенью, то и куб останется кубом. Пример: $15^2-3^2=6^3$. Домножая всё на 729, получаем $405^2-9^4=54^3$. Радости от такого решения, правда, немного. Если же тут гипотеза Била замешана, и нужны вз. простые тройки, то надо исходить из уравнения $xy=z^3$ при вз. простых $x,y$ или $\gcd (x,y)=2$, но такое решение не будет общим. Так или иначе, думать придется самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение15.12.2018, 08:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1361382 писал(а):
... и нужны вз. простые тройки

Маленькое: $5^4+6^3=29^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение18.12.2018, 10:58 


06/01/18
48
Кто-нибудь знает, а можно привести решение этого уравнения к такому виду, чтобы через произвольные натуральные числа по определённому выражению находились любые решения уравнения?

Как получилось с уравнением $a^2 + b^2 = c^2$, где $a, b, c$ выражалось через произвольные целые числа $m, n$:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 m^2-n^2=a \\
 2mn=b \\
 m^2+n^2=c \\
 m>n \\
\end{array}
\right.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Любопытное нелинейное диофантово уравнение
Сообщение18.12.2018, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
$a=21,\ b=28,\ c=35.$ Каковы $m,n$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group