Можно ли получить четвёртую степень?

[Ktina]

Можно ли числа $1, 2,\;\dots,\; 2018$ разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится четвёртая степень натурального числа?

[waxtep]

Можно!
1. Отложим в сторону $18$ чисел вида $25n,1\leqslant n\leqslant18$
2. Оставшиеся $2000$ чисел разбиваются на $500$ четверок подряд идущих чисел; из четного числа таких четверок любо-дорого делать четвертые степени: берем любую четверку $x,x+1,x+2,x+3$ и попарно складываем с любой другой $y+3,y+2,y+1,y$ задом наперед, получая $(x+y+3)^4$ при перемножении
3. А с отложенными $18$ числами поступаем так, вынося множители $25$:

$\begin{cases} 25^2(18+7)(17+8)=25^4\\ 25^2(3+6)(4+5)=15^4\\ 25^4(1+11)(2+10)(12+15)(13+14)=450^4\\ 25(9+16)=5^4 \end{cases}$

[Ktina]

waxtep
Большое математическое спасибо!

[waxtep]

Можно чуть поменьше чисел в сторону отложить, десять штук вида $121n, 1\leqslant n\leqslant10$, с той же логикой и таким объединением отложенных: $1-10,2-9,3-6,4-8,5-7$. Еще меньше (две штуки или шесть), кажется, не получится, там что-то с остатками начинает не сходиться