2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Можно ли получить четвёртую степень?
Сообщение08.12.2018, 00:17 
Аватара пользователя
Можно ли числа $1, 2,\;\dots,\; 2018$ разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится четвёртая степень натурального числа?

 
 
 
 Re: Можно ли получить четвёртую степень?
Сообщение19.12.2018, 02:31 
Аватара пользователя
Можно!
1. Отложим в сторону $18$ чисел вида $25n,1\leqslant n\leqslant18$
2. Оставшиеся $2000$ чисел разбиваются на $500$ четверок подряд идущих чисел; из четного числа таких четверок любо-дорого делать четвертые степени: берем любую четверку $x,x+1,x+2,x+3$ и попарно складываем с любой другой $y+3,y+2,y+1,y$ задом наперед, получая $(x+y+3)^4$ при перемножении
3. А с отложенными $18$ числами поступаем так, вынося множители $25$:

$\begin{cases}
25^2(18+7)(17+8)=25^4\\
25^2(3+6)(4+5)=15^4\\
25^4(1+11)(2+10)(12+15)(13+14)=450^4\\
25(9+16)=5^4
\end{cases}$

 
 
 
 Re: Можно ли получить четвёртую степень?
Сообщение19.12.2018, 11:28 
Аватара пользователя
waxtep
Большое математическое спасибо!

 
 
 
 Re: Можно ли получить четвёртую степень?
Сообщение20.12.2018, 00:57 
Аватара пользователя
Можно чуть поменьше чисел в сторону отложить, десять штук вида $121n, 1\leqslant n\leqslant10$, с той же логикой и таким объединением отложенных: $1-10,2-9,3-6,4-8,5-7$. Еще меньше (две штуки или шесть), кажется, не получится, там что-то с остатками начинает не сходиться

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group