Числа, у которых есть ровно две одинаковые цифры

[Ktina]

Сергей и Игорь изучают четырёхзначные числа, первая цифра которых 9 (т.е. числа вида $\overline{9abc}$). Они хотят выписать все четырёхзначные числа, у которых есть ровно две одинаковые цифры. Помогите им определить, сколько таких чисел.

Источник задачи:
http://www.uni.bsu.by/arrangements/imct ... _baz69.pdf
(задача №2 для 6-го класса).

У меня такое ощущение, что автор задачи пытается своим условием «запутать врага». С одной стороны, в первом предложении условия говорится о числах, начинающихся на 9, а с другой, во втором предложении речь идёт обо всех четырёхзначных числах.

Если речь только о числах, начинающихся с девятки, то мне кажется, что ответ будет 432, поскольку всего возможно только 6 случаев: $\overline{99ab},\; \overline{9a9b},\; \overline{9ab9},\; \overline{9aab},\; \overline{9aba},\; \overline{9baa}\;$, где $a, b$ - различные цифры, не равные 9. В каждом из этих 6 случаев будет по 72 варианта, итого 432.

У меня правильно или что-то упущено?

P. S. А если всё-таки не только начинающиеся с девятки посчитать, будет $432\cdot 9=3888$, да? Ведь если девятку заменить любой другой ненулевой цифрой, суть задачи не изменится, правда?

[teleglaz]

Ktina в сообщении #1359225 писал(а):

У меня правильно или что-то упущено?

Правильно.

Ktina в сообщении #1359225 писал(а):

будет $432\cdot 9=3888$, да?

Да.

[alex55555]

Ktina в сообщении #1359225 писал(а):

У меня такое ощущение, что автор задачи пытается своим условием «запутать врага».

Вольность определений с одной стороны мешает обучению, а с другой стороны заставляет самостоятельно больше думать. Что лучше? Когда как...

Но тем не менее:

Ktina в сообщении #1359225 писал(а):

Сергей и Игорь изучают четырёхзначные числа, первая цифра которых 9

Эта фраза нам говорит именно о начинающихся с 9 числах. Всё остальное - применимо и вытекает именно из начального определения. Хотя если не задумываться и не вчитываться, то да, возникает сомнение.

[SergeCpp]

Ktina в сообщении #1359225 писал(а):

Сергей и Игорь изучают четырёхзначные числа, первая цифра которых 9 (т.е. числа вида $\overline{9abc}$). Они хотят выписать из них все четырёхзначные числа, у которых есть ровно две одинаковые цифры.

Так было бы сразу ясно о чём речь.

[Gagarin1968]

Вообще-то, задача не тянет на олимпиадную даже для 6-го класса.

[Ktina]

Gagarin1968 в сообщении #1359275 писал(а):

Вообще-то, задача не тянет на олимпиадную даже для 6-го класса.

Я тоже так думаю.
Простите за отклонение от темы, а какая задача, по-Вашему, тянет на олимпиадную для 6-го класса?

[Booker48]

Кажется, именно эта и тянет.
Рассмотрим числа вида $\overline{9aab}$. Я правильно понял, что Вы утверждаете, что условию удовлетворяют все такие числа, где $a, b$ - любые цифры, не равные $9$? Но не все они подходят, скажем $9112$ и $9334$ содержат только одну совпадающую цифру.
Или я что-то как всегда не так прочитал?

upd Таки понял, что опять не так понял условие. Но "у которых" и "в которых" - это отличается по смыслу. "У которых" - значит (имхо) все числа множества имеют попарно ровно две одинаковые цифры.

[Gagarin1968]

Ktina в сообщении #1359280 писал(а):

Простите за отклонение от темы, а какая задача, по-Вашему, тянет на олимпиадную для 6-го класса?

(Оффтоп)

Ktina
Ну, например, такая:
Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?
Согласитесь, здесь комбинаторные приёмы, даже самые простейшие, не требуются.