Покрасьте семь клеток таблицы

[Ktina]

Покрасьте семь клеток таблицы размером $7\times 7$ в чёрный цвет так, чтобы из неё нельзя было вырезать ни белой полоски размером $1\times 7$, ни белого квадрата размером $3\times 3$, ни белого прямоугольника размером $2\times 4$.

[waxtep]

Такая как бы стрелочка: $(1,1),(5,5),(7,7)$ на диагонали и симметричные относительной этой диагонали $(2,4),(4,2)$ и $(3,6),(6,3)$

-- 04.12.2018, 13:49 --

Во такая:

$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&&\bullet\\ \hline &&\bullet&&&&\\ \hline &&&&\bullet&&\\ \hline &\bullet&&&&&\\ \hline &&&&&\bullet&\\ \hline &&&\bullet&&&\\ \hline \bullet&&&&&&\\ \hline \end{tabular}$$

[Ktina]

waxtep
Большое спасибо!
А единственный ли это способ?

-- 04.12.2018, 18:34 --

waxtep
Апропо, у этой задачи есть ещё одно, шуточное решение. Догадались, о чём я?

[waxtep]

До шуточного решения чего-то не допираю, разве ляпнуть в каждую из $49$ клеток по кляксе в $1/7$ площади

А вот насчет единственности: два каких-нибудь противоположных угла обязаны быть закрашены. Иначе, на "внешних сторонах" таблицы будет минимум три закрашенных клетки, а тогда во "внутреннем квадрате" $5\times5$ - максимум четыре; но тогда можно вырезать белую полоску $1\times7$. Значит, свобода только в расстановке пяти закрашенных клеток во "внутреннем квадрате" $5\times5$, вариантов чего, если не ошибаюсь, $\dfrac{5!}4=30$ (в каждой строке и каждом столбце должно быть ровно по одной кляксе, значит, речь о перестановках; и симметрии относительно двух главных диагоналей делят на четыре). А это вполне доступно неторопливому перебору рУками, или, может быть, можно еще ограничения найти, надо подумать

[Ktina]

waxtep в сообщении #1358874 писал(а):

До шуточного решения чего-то не допираю, ...

Это как раз тот случай, когда первоклассница в розовых шлёпках легко решит, а профессор обломается (помещаю решение в оффтоп):

(Оффтоп)

Красим любые 7 клеток в чёрный, остальные - в зелёный. Условию задачи удовлетворяет полностью!

[waxtep]

А решение все таки единственное (с точностью до симметрии кнчн), щас нарисуем

-- 05.12.2018, 00:41 --

Значит, противоположные угловые клетки "прибиты гвоздями"; теперь, легко заметить, что клетки, помеченные "х" не могут быть закрашены (иначе случится что-то плохое), и ровно одна из клеток А-А должна быть покрашена, и так же ровно одна из В-В:

$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&x&x&x&x&x&\bullet\\ \hline x&x&A&&&&x\\ \hline x&A&x&&&&x\\ \hline x&&&&&&x\\ \hline x&&&&x&B&x\\ \hline x&&&&B&x&x\\ \hline \bullet&x&x&x&x&x&x\\ \hline \end{tabular}$$

А это форсированно приводит к одному из всего двух вариантов: представленному (когда красятся симметричные относительно диагонали А и В), и нерешаемому (когда несимметричные)

[waxtep]

waxtep в сообщении #1358874 писал(а):

Иначе, на "внешних сторонах" таблицы будет минимум три закрашенных клетки, а тогда во "внутреннем квадрате" $5\times5$ - максимум четыре; но тогда можно вырезать белую полоску $1\times7$.

хммм, вот это слабое место, совершенно это не значит, что можно $1\times7$ вырезать. Т.е. в принципе могут быть ещё решения, где только одна угловая клетка покрашена, или ни одной (во что я лично не очень верю, но, доказательства пока нет)

[waxtep]

waxtep в сообщении #1358939 писал(а):

Т.е. в принципе могут быть ещё решения, где только одна угловая клетка покрашена, или ни одной

А, ну вот, доведу до кондиции: предположим, что есть хотя бы одна покрашенная клетка на внешней стороне, не являющаяся угловой. Тогда, выделим прямоугольник $4\times7$, включающий ее; в нем, одна и только одна клетка из каждой пары A-A, B-B, C-C, D-D должна быть покрашена, что невозможно (должны быть покрашены две клетки на одной вертикали (C и D) - а в таком случае из всей таблицы $7\times7$ можно будет вырезать белую полоску $7\times1$:

$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline x&x&x&C\\ \hline x&x&x&C\\ \hline A&x&B&x\\ \hline A&x&B&x\\ \hline x&x&x&D\\ \hline x&x&x&D\\ \hline x&\bullet&x&x\\ \hline \end{tabular}$$

Значит, на внешних сторонах допустимо раскрашивание только двух противоположных угловых клеток; а там решение единственно, как рассмотрено выше

[Cash]

Ktina в сообщении #1358882 писал(а):

Это как раз тот случай, когда первоклассница в розовых шлёпках легко решит, а профессор обломается

(Оффтоп)

Красим любые 7 клеток в чёрный, остальные - в зелёный. Условию задачи удовлетворяет полностью!

Как полностью, если по условию красить можно только в черный цвет? Или первоклассницы у нас сейчас жуликоватые пошли? Другое дело, если бумага зеленая. Непонятно только тогда - зачем красить...