Тангенциальная составляющая ускорения

[warlock66613]

EUgeneUS в сообщении #1358371 писал(а):

тангенциальное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а не равно ему

А вот это как раз похоже на ахинею.

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1358266 писал(а):

Я где-то допустил ошибку?

Вы допустили две ошибки:
1. Вы начали рассматривать тангенциальное ускорение в особой точке.
2. Вы перепутали вектор с модулем вектора.

[Eule_A]

EUgeneUS в сообщении #1358371 писал(а):

Неточность в учебнике значимая.

Ну что ж. В таком случае взяли бы да и привели правильную формулу. Там всего ведь одного символа не хватает. А то уже двое на ровном месте написали много текста вместо того, чтобы исправить значимую по их мнению ошибку. Полезнее было бы, нет?

[EUgeneUS]

Eule_A

ИМХО, тут одним символом не обойтись.
Разложение ускорения на тангенциальное и нормальное можно вывести, продифференцировав формулу: $\vec{v} = v \vec{e_\tau}$.
При этом утверждается, что $\vec{e_\tau}$ - это единичный касательный к траектории вектор.
Как это сделано в википедии, например.

Однако, формулу $\vec{v} = v \vec{e_\tau}$ можно переписать так:
$\vec{e_\tau} = \frac{\vec{v}}{v}$, то есть $\vec{e_\tau}$ - это не просто единичный касательный к траектории вектор, а единичный касательный к траектории вектор сонаправленный с вектором скорости.

Тогда нормальное ускорение определяется как проекция ускорения на ось сонаправленную с вектором скорости.
Если обратить на это внимание, то чудеса описанные тут перестают быть чудесами:

1. В точке, где $v=0$ тангенциальное ускорение не определено (так как не определено направление скорости). Даже если само ускорение в этой точке определено.
2. А если скорость (в случае прямолинейного равноускоренного движения) меняет знак, то и тангенциальное ускорение меняет знак.

[Eule_A]

EUgeneUS в сообщении #1358416 писал(а):

ИМХО, тут одним символом не обойтись.

Ну, классики обходились, и Ваша запись мне не кажется свободной от возможности привязаться и к ней (по другой причине). Но я заниматься буквоедством не стану.

Надеюсь, теперь "инцидент" на ровном месте исчерпан.

[miflin]

EUgeneUS в сообщении #1358416 писал(а):

А если скорость (в случае прямолинейного равноускоренного движения) меняет знак, то и тангенциальное ускорение меняет знак.

Всё страньше и страньше.
Тело брошено вертикально вверх. И при движении вверх, и при движении вниз тангенциальное ускорение одно и то же - $g$.
Или $-g$, если ось направить в противоположную сторону.

[EUgeneUS]

miflin

Тело бросили не вертикально верх, а под углом. Будет ли тангенциальное ускорение менять знак?

[Munin]

А теперь плавно повышаем угол до $\pi/2$... :-)

[miflin]

EUgeneUS
Да, будет, если рассматривать по отношению к скорости.
Но Вы смухлевали подменили вопрос.

[EUgeneUS]

miflin
Если
а) тангенциальное ускорение мы определяем как проекцию ускорения на касательную к траектории
б) тело бросили под каким-то ненулевым углом к вертикали,
то тангенциальное ускорение будет менять знак в верхней точке, неважно, как мы определили направление касательной (см. ниже).

1. Направление касательной мы можем определить
а) как это принято в дифгеме: $\vec{e_\tau} = \frac{d \vec{r}}{ds}$, $s$ - натуральный параметр.
б) но если не хотим объяснять, что такое натуральный параметр, рано ещё, то можем определить так: $\vec{e_\tau} = \frac{\vec{v}}{v}$. Как и поступают в учебниках общей физики, которые читают до дифгема.
причем эти определения неэквивалентны!

2.
а) Тангенциальное ускорение можно определить, как вектор - составляющую ускорения, параллельную касательной к траектории. В этом случае, нам направление касательной не очень-то важно.
б) А можно определить как проекцию вектора ускорения на касательную, и тогда направление касательной важно - оно определяет знак проекции.

Если в учебнике идут по пути (1б, 2б), то получаются вышеописанные (в топике) чудеса. Эти чудеса надо понять и простить.

Что же касается цитаты из учебника в стартовом посте. То там, извините, некая ахинея, как минимум в следующем:

1. Сначала пишут

Цитата:

Таким образом, ускорение $a$ есть векторная величина, определяемая первой производной скорости по времени

Что верно.

2. И тут же далее, в следующем абзаце пишут:

Цитата:

Тангенциальная составляющая ускорения <тут формула>, т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости

"Вот оно как, Михалыч" (с), скаляр есть составляющая вектора.
То есть, что именно авторы учебника понимают под тангенциальным ускорением нужно ещё догадаться.

[miflin]

Тут, наверное, какое-то моё контекстное недопонимание того, что вы хотели сказать.
Вот я читаю:

EUgeneUS в сообщении #1358416 писал(а):

если скорость (в случае прямолинейного равноускоренного движения) меняет знак, то и тангенциальное ускорение меняет знак.

Я воспринял эту фразу буквально и безотносительно к стартовому посту. Прямолинейное ускоренное (да ещё "равно") движение.
С какой стати я должен рассматривать это движение в двух системах координат? - сначала по одной оси, а потом, когда
тело изменило направление движения, я первую ось заменяю на противоположно направленную -
куда при этом помещать её начало?
Вертикально брошенное тело во время падения будет проходить те же точки, что и при подъеме.
Как будут различаться их координаты для одной и той же точки, проходимой "туда", а потом "сюда"?
В каких-то ситуациях это может и имеет смысл, но в той, что приведена в цитате...
В том же, скажем, пружинном маятнике, скорость в крайних точках меняет знак, а ускорение не меняет...

Скорее всего, это для темы о глупых вопросах.

[EUgeneUS]

miflin в сообщении #1358554 писал(а):

Я воспринял эту фразу буквально и безотносительно к стартовому посту. Прямолинейное ускоренное (да ещё "равно") движение.
С какой стати я должен рассматривать это движение в двух системах координат? - сначала по одной оси, а потом, когда
тело изменило направление движения, я первую ось заменяю на противоположно направленную -
куда при этом помещать её начало?

Контекст тут простой: применение определения тангенциального ускорения, как производной модуля скорости по времени, или, что тоже самое, как проекции ускорения на ось, касательную к траектории и направленную "по скорости".

(другой пример)

Рассмотрим физический маятник. Пусть в момент $t_1$ маятник проходит какую-то точку, не крайнюю нижнюю, и не крайнюю верхнюю. А в момент $t_2$ ту же самую точку, но в обратном направлении.
Тогда в векторной форме: $\vec{a_\tau}(t_1) = \vec{a_\tau}(t_2)$
Никаких чудес.
Применяем определения:

$\vec{a_\tau}(t_1) = \frac{dv(t_1)}{dt} \vec{e_\tau}(t_1) =\frac{dv(t_2)}{dt} \vec{e_\tau}(t_2) = \vec{a_\tau}(t_2)$

При этом:
$\frac{dv(t_1)}{dt} = - \frac{dv(t_2)}{dt}$ (это пока ожидаемо: в одном направлении модуль скорости растет, в другом - падает)
и $\vec{e_\tau}(t_1) = - \vec{e_\tau}(t_2)$, так как $\frac{\vec{v}(t_1)} {v(t_1)} = -\frac{\vec{v}(t_2)} {v(t_2)}$ А вот это часто забывается или опускается

[Walker_XXI]

(miflin)

miflin в сообщении #1358554 писал(а):

Вертикально брошенное тело во время падения будет проходить те же точки, что и при подъеме.
Как будут различаться их координаты для одной и той же точки, проходимой "туда", а потом "сюда"?

Вообще говоря, система отсчёта не изменяется. И речь вообще не о точках траектории, а о скорости, которая есть векторное поле. Точка траектории и мгновенная скорость в этой точке - объекты разных пространств, которые могут быть по-разному параметризованы, иметь разные системы координат/базисы.

[realeugene]

Тангенциальное ускорение есть величина векторная и, поэтому, от направления скорости зависеть не может. Его модуль есть величина неотрицательная. Проекция на ось, коллинеарную с направлением скорости, может быть любого знака и зависит от выбранного направления этой оси. Как в обсуждаемом учебнике нужно добавить, исходя из этого определения, вычисление модуля после дифференцирования модуля скорости, разумный ученик должен догадаться сам, воспользовавшись своей уже натренированной физической интуицией. Это физика, а не математика.

[EUgeneUS]

realeugene
Ответьте, пожалуйста, на один вопрос. Вот в этом примере тангенциальное ускорение при $t=0$ определено?