miflinЕсли
а) тангенциальное ускорение мы определяем как проекцию ускорения на касательную к траектории
б) тело бросили под каким-то ненулевым углом к вертикали,
то тангенциальное ускорение будет менять знак в верхней точке, неважно, как мы определили направление касательной (см. ниже).
1. Направление касательной мы можем определить
а) как это принято в дифгеме:
,
- натуральный параметр.
б) но если не хотим объяснять, что такое натуральный параметр, рано ещё, то можем определить так:
. Как и поступают в учебниках общей физики, которые читают до дифгема.
причем эти определения неэквивалентны!
2.
а) Тангенциальное ускорение можно определить, как вектор - составляющую ускорения, параллельную касательной к траектории. В этом случае, нам направление касательной не очень-то важно.
б) А можно определить как проекцию вектора ускорения на касательную, и тогда направление касательной важно - оно определяет знак проекции.
Если в учебнике идут по пути (1б, 2б), то получаются вышеописанные (в топике) чудеса. Эти чудеса надо понять и простить.
Что же касается цитаты из учебника в стартовом посте. То там, извините, некая ахинея, как минимум в следующем:
1. Сначала пишут
Цитата:
Таким образом, ускорение
есть векторная величина, определяемая первой производной скорости по времени
Что верно.
2. И тут же далее, в следующем абзаце пишут:
Цитата:
Тангенциальная составляющая ускорения <тут формула>, т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости
"Вот оно как, Михалыч" (с), скаляр есть составляющая вектора.
То есть, что именно авторы учебника понимают под тангенциальным ускорением нужно ещё догадаться.