2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 О квадрупольном моменте одной системы зарядов
Сообщение30.11.2018, 08:45 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Пусть мы имеем систему из $n$ одноименных точечных неподвижных зарядов величиной $q/n$ каждый, находящиеся
в вершинах правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса $R$. Тогда квадрупольный момент
системы, соответствующий данной плоскости многоугольника не зависит от числа вершин и всегда равен
квадрупольному моменту бесконечно тонкого кольца с зарядом $q$ и радиусом $R$, т.е $Q=qR^2/2$.

Вот такую закономерность я обнаружил, вычисляя квадрупольные моменты для правильного треугольника, квадрата и кольца
(в общем случае это утверждение доказать мне не удалось). Может кто-то подскажет как вывести доказательство для общего случая?
Следствием чего является рассмотренная выше закономерность? Я лишь понимаю, что при стремлении числа вершин к бесконечности
результаты должны совпасть...

 Профиль  
                  
 
 Re: О квадрупольном моменте одной системы зарядов
Сообщение30.11.2018, 09:51 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Ну, наверное нужно рассмотреть группу поворотов на углы $2\pi/n$. Соответствующая симметрия системы должна помочь. Я давно нечто подобное делал, правда, для чуть-чуть другой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: О квадрупольном моменте одной системы зарядов
Сообщение30.11.2018, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Один из вспомогательных образов, чтобы рассуждать о квадрупольном моменте: представьте себе линейную комбинацию шаровых функций квадрупольного порядка. Её коэффициенты находятся во взаимно-однозначном соответствии с тензором квадрупольного момента.

-- 30.11.2018 16:26:10 --

Более того, это работает для любых мультиполей.

 Профиль  
                  
 
 Re: О квадрупольном моменте одной системы зарядов
Сообщение30.11.2018, 17:46 
Заслуженный участник


21/09/15
998
А почему бы не в лоб? И воспользоваться тем. что при $n>2$ сумма $\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sin^2\varphi_i = \frac{1}{2n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}(1-\cos 2\varphi_i)=\frac{1}{2}$
То же самое для косинусов. Понятно что такое $\varphi_i$ ?
Можно про симметрию порассуждать, очевидно $D_z_z=-q R^2$, $D_x_x+D_y_y=-D_z_z$
Ну и как-то из симметрии заключить, что в плоскости $xy$ $D$ должен иметь одинаковые главные значения.
Но проще в лоб по моему

 Профиль  
                  
 
 Re: О квадрупольном моменте одной системы зарядов
Сообщение30.11.2018, 18:36 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
AnatolyBa в сообщении #1357762 писал(а):
А почему бы не в лоб? И воспользоваться тем. что при $n>2$ сумма $\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sin^2\varphi_i = \frac{1}{2n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}(1-\cos 2\varphi_i)=\frac{1}{2}$
То же самое для косинусов. Понятно что такое $\varphi_i$ ?
Можно про симметрию порассуждать, очевидно $D_z_z=-q R^2$, $D_x_x+D_y_y=-D_z_z$
Ну и как-то из симметрии заключить, что в плоскости $xy$ $D$ должен иметь одинаковые главные значения.
Но проще в лоб по моему

$\varphi$ -центральный угол))) Здорово. Спасибо.

-- Пт ноя 30, 2018 19:49:58 --

Можно я теперь задачу несколько усложню?
Имеем тот же правильный $n$-угольник, но фиксированный заряд теперь равномерно распределен
по всем его сторонам. Задача та же: определить квадрупольный момент в плоскости
фигуры относительно его центра. Дискретное распределение зарядов заменяется
на непрерывное а сумма переходит в интеграл. Но у меня начисто "отбило соображаловку"
как корректно записать в данном случае плотность заряда через дельта-функцию.....
Помогите, кто может
P.S. Чтобы не возникало вопрсов с равномерностью распределения заряда, можно считать что по многоугольнику равномерно распределена масса
Упс, сорри, можно обойтись без дельта-функции

 Профиль  
                  
 
 Re: О квадрупольном моменте одной системы зарядов
Сообщение30.11.2018, 20:07 
Заслуженный участник


21/09/15
998
А зачем записывать плотность зарядов через делта-функцию?
Можно просто линейно проинтегрировать по ребру.
Эта задача выглядит муторно и решать я ее не буду, но в случае необходимости я бы действовал так.
Нашел бы квадрупольный момент одного, удобно расположенного ребра (перпендикулярного к одной из осей).
Для остальных ребер тем самым будет найден момент в удобной для них системе координат, затем преобразовал бы тензор поворотом.
Много тригонометрии. но интуитивно кажется, что все решаемо, все суммы можно посчитать

 Профиль  
                  
 
 Re: О квадрупольном моменте одной системы зарядов
Сообщение30.11.2018, 20:11 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
AnatolyBa в сообщении #1357804 писал(а):
А зачем записывать плотность зарядов через делта-функцию?
Можно просто линейно проинтегрировать по ребру.
Эта задача выглядит муторно и решать я ее не буду, но в случае необходимости я бы действовал так.
Нашел бы квадрупольный момент одного, удобно расположенного ребра (перпендикулярного к одной из осей).
Для остальных ребер тем самым будет найден момент в удобной для них системе координат, затем преобразовал бы тензор поворотом.
Много тригонометрии. но интуитивно кажется, что все решаемо, все суммы можно посчитать


Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: О квадрупольном моменте одной системы зарядов
Сообщение02.12.2018, 08:23 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Че это я? Есть же простое решение - соответственные кусочки ребер образуют многоугольники типа того, что вы описали вначале (с зарядами в вершинах), но с меньшим радиусом. Отсюда сразу интегрированием получается $\frac{qR^2}{2}(1-\frac{2}{3}\sin ^2 \frac{\pi}{n})$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group