целое число

[daogiauvang]

Данно $ k$ нечетное целое число. Докажите:
$1^k+2^k+3^k+...+n^k$делиться на$1+2+3+...+n$ для любого натурального числа$n$

[Руст]

Пусть $S_k(n+1)=1^k+2^k+...+n^k$, k - нечётно.
Тогда $2S_k(n+1)=\sum_{k=1}^n (k^n+(n+1-k)^n)=(n+1)A$.
С другой стороны $2S_k(n+1)=2n^k+2S_k(n)$ делится на n. Так как n и n+1 взаимно просты $n(n+1)|2S_k(n+1)$.