ДУ Лагранжа

[Abel's friend]

$e^x = \frac {y^2+y'^2} {2y'} $
Всем доброго времени суток!
Решал такое ДУ Лагранжа взятием логарифма и заменой $y'=p$.
$(\frac 1 p\ - \frac {2y} {y^2+p^2})dy = (-\frac 1 p\ + \frac {2p} {y^2+p^2})dp $
Дальше ничего хорошего не получается.
Может кто подскажет.

[Singular]

Придёте к уравнению вида $\frac{dy}{dp}=f\left(\frac{y}{p}\right)$, далее замена $y=u\,p$, а далее всякие фокусы с неявным уравнением вида $F\left(y,y'\right)=0$

[пианист]

Можно еще использовать, что явно видна симметрия уравнения: если $y$ растягивать, а по $x$ сдвигаться
$x \rightarrow x + a$,
$y \rightarrow y\exp(a)$,
уравнение переходит в себя.
Соответствующий инфинитезимальный оператор будет $\frac{\partial}{\partial x} + y\frac{\partial}{\partial y}$, и отсюда сразу пишется интегрирующий множитель (формулу можно в книжечке Н.Х.Ибрагимова "Азбука группового анализа" глянуть), и, соответственно, интеграл уравнения в виде контурного интеграла (довольно неприятного вида, вряд ли дальше упростится).

[mihiv]

Singular в сообщении #1357007 писал(а):

а далее всякие фокусы с неявным уравнением вида $F\left(y,y'\right)=0$

В это уравнение можно подставить $y'=g(x,y)$, найденное из исходного уравнения.

[Abel's friend]

Всем большое спасибо!