2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 ДУ Лагранжа
Сообщение26.11.2018, 21:03 
$e^x = \frac {y^2+y'^2} {2y'} $
Всем доброго времени суток!
Решал такое ДУ Лагранжа взятием логарифма и заменой $y'=p$.
$(\frac 1 p\ - \frac {2y} {y^2+p^2})dy = (-\frac 1 p\ + \frac {2p} {y^2+p^2})dp  $
Дальше ничего хорошего не получается.
Может кто подскажет.

 
 
 
 Re: ДУ Лагранжа
Сообщение26.11.2018, 22:30 
Аватара пользователя
Придёте к уравнению вида $\frac{dy}{dp}=f\left(\frac{y}{p}\right)$, далее замена $y=u\,p$, а далее всякие фокусы с неявным уравнением вида $F\left(y,y'\right)=0$

 
 
 
 Re: ДУ Лагранжа
Сообщение27.11.2018, 07:48 
Аватара пользователя
Можно еще использовать, что явно видна симметрия уравнения: если $y$ растягивать, а по $x$ сдвигаться
$x \rightarrow x + a$,
$y \rightarrow y\exp(a)$,
уравнение переходит в себя.
Соответствующий инфинитезимальный оператор будет $\frac{\partial}{\partial x} + y\frac{\partial}{\partial y}$, и отсюда сразу пишется интегрирующий множитель (формулу можно в книжечке Н.Х.Ибрагимова "Азбука группового анализа" глянуть), и, соответственно, интеграл уравнения в виде контурного интеграла (довольно неприятного вида, вряд ли дальше упростится).

 
 
 
 Re: ДУ Лагранжа
Сообщение27.11.2018, 12:28 
Singular в сообщении #1357007 писал(а):
а далее всякие фокусы с неявным уравнением вида $F\left(y,y'\right)=0$

В это уравнение можно подставить $y'=g(x,y)$, найденное из исходного уравнения.

 
 
 
 Re: ДУ Лагранжа
Сообщение28.11.2018, 22:26 
Всем большое спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group