Человек, увлекающийся энтомологией изучает на необитаемом острове повадки тропических насекомых. Например, его интересует скорость передвижения древесных гусениц. К сожалению, часы его сломались, и для измерения времени энтомологу приходится использовать импровизированные водяные часы в виде пластиковой бутылки с водой. В донышке бутылки проткнуто маленькое отверстие, из которого капает вода с интервалом времени в две секунды. Естествоиспытатель считает количество упавших капель, пока гусеница преодолевает установленную дистанцию. результат округляется в большую сторону. Пусть

- случайная величина, равная ошибке в определении времени проползания гусеницей установленной дистанции. Запишите функцию распределения и функцию плотности распределения случайной величины. найдите первый начальный и второй центральный моменты, а также вероятность того, что ошибка в определении скорости не превысит

с.
Решение:
Данная задача относится к задачам на равномерный закон распределения непрерывной случайной величины.
x - случайная величина, равная ошибке в определении времени проползания гусеницей установленной дистанции.
Согласно условию задачи ошибка составляет от

до

секунд, то есть
![$[a;b]=[0;2]$ $[a;b]=[0;2]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/5/d65c5d53ad4ea61564ce7f49ee56de3d82.png)
.
Для равномерного распределения функцию плотности распределения можно записать как:

.
Для данной задачи:

.
Для равномерного распределения функцию распределения можно записать как:

.
Для данной задачи:

.
Первый начальный момент найдем по формуле:
![$\alpha_{s}[X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx$ $\alpha_{s}[X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/8/83856163e024dd61f814d89139140d9182.png)
.
Тогда:
![$\alpha_{1}[X]=\int \limits_{0}^{2}x^{2}\frac{1}{2}dx=1$ $\alpha_{1}[X]=\int \limits_{0}^{2}x^{2}\frac{1}{2}dx=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0ea9b8fbfada49ce70525b2c9f3d17e82.png)
.
Второй центральный момент найдем по формуле:
![$\mu_{s}[X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}(x-m_{x})^{s}f(x)dx$ $\mu_{s}[X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}(x-m_{x})^{s}f(x)dx$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/7/a67b5c1d3a9d1e9b50d1960102a288c182.png)
Тогда:
![$\mu_{2}[X]=\int \limits_{0}^{2}(x-m_{x})^{2}\frac{1}{2}dx$ $\mu_{2}[X]=\int \limits_{0}^{2}(x-m_{x})^{2}\frac{1}{2}dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/e/33e4e6150e7a11f524f8cf328ddf842d82.png)
, где

(для равномерного распределения);
![$\mu_{2}[X]=\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2}(x-1)^{2}dx = \frac{1}{3}$ $\mu_{2}[X]=\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2}(x-1)^{2}dx = \frac{1}{3}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/5/285ec7d148b2520e61d389c8861e401882.png)
.
Вероятность попадания равномерной случайной величины на участок
![$[x_{1};x_{2}]$ $[x_{1};x_{2}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/9/5190e9c3154b12816596d989ff6e7d5582.png)
находится по формуле:

.
Следовательно, вероятность того, что ошибка в определении скорости не превышает

с будет равна:

.
Верно ли я определил ошибку, нашел центральный момент и начальный момент?