Закон распределения. Функция распределения.

[Men007]

Человек, увлекающийся энтомологией изучает на необитаемом острове повадки тропических насекомых. Например, его интересует скорость передвижения древесных гусениц. К сожалению, часы его сломались, и для измерения времени энтомологу приходится использовать импровизированные водяные часы в виде пластиковой бутылки с водой. В донышке бутылки проткнуто маленькое отверстие, из которого капает вода с интервалом времени в две секунды. Естествоиспытатель считает количество упавших капель, пока гусеница преодолевает установленную дистанцию. результат округляется в большую сторону. Пусть $x$ - случайная величина, равная ошибке в определении времени проползания гусеницей установленной дистанции. Запишите функцию распределения и функцию плотности распределения случайной величины. найдите первый начальный и второй центральный моменты, а также вероятность того, что ошибка в определении скорости не превысит $1$ с.

Решение:
Данная задача относится к задачам на равномерный закон распределения непрерывной случайной величины.
x - случайная величина, равная ошибке в определении времени проползания гусеницей установленной дистанции.
Согласно условию задачи ошибка составляет от $0 $ до $2$ секунд, то есть $[a;b]=[0;2]$.

Для равномерного распределения функцию плотности распределения можно записать как:

$f(x) =\begin{cases} \frac{1}{b-a} & a < x < b \\ 0 & x < a, x > b \end{cases} $.
Для данной задачи:
$f(x) =\begin{cases} \frac{1}{2} & 0 < x < 2 \\ 0 & x < 0, x > 2 \end{cases} $.


Для равномерного распределения функцию распределения можно записать как:

$F(x) =\begin{cases}0 & x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & a < x < b \\ 1 & x>b \end{cases} $.
Для данной задачи:
$ F(x) =\begin{cases}0 & x < 0\\ \frac{x}{2} & 0 < x < 2 \\ 1 & x > 2 \end{cases}$.

Первый начальный момент найдем по формуле:
$\alpha_{s}[X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx$.
Тогда:
$\alpha_{1}[X]=\int \limits_{0}^{2}x^{2}\frac{1}{2}dx=1$.

Второй центральный момент найдем по формуле:
$\mu_{s}[X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}(x-m_{x})^{s}f(x)dx$
Тогда:
$\mu_{2}[X]=\int \limits_{0}^{2}(x-m_{x})^{2}\frac{1}{2}dx$, где $m_{x}=\frac{a+b}{2}=\frac{2}{2}=1$ (для равномерного распределения);
$\mu_{2}[X]=\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2}(x-1)^{2}dx = \frac{1}{3}$.

Вероятность попадания равномерной случайной величины на участок $[x_{1};x_{2}]$ находится по формуле:
$P(x_{1}<X<x_{2})=\frac{x_{2}-x_{1}}{b-a}$.
Следовательно, вероятность того, что ошибка в определении скорости не превышает $1$ с будет равна:
$P(0 < X < 1)= \frac{1}{2}$.

Верно ли я определил ошибку, нашел центральный момент и начальный момент?

[GAA]

Men007 в сообщении #1356973 писал(а):

Первый начальный момент найдем по формуле:
$\alpha_{s}[X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx$.
Тогда:
$\alpha_{1}[X]=\int \limits_{0}^{2}x^{2}\frac{1}{2}dx=1$.

Опечатка. Как-то так
«Первый начальный момент найдем по формуле:
$\alpha_{s}[X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}x^{s}f(x)dx$.
Тогда:
$\alpha_{1}[X]=\int \limits_{0}^{2}x\frac{1}{2}dx=1$.»

-- Mon 26.11.2018 19:21:12 --

В плотности и функции распределения "выброшены" точки $x=0$, $x=2$. На мой взгляд, надо посмотреть в конспекте или рекомендованном учебнике и поправить.

[Men007]

GAA

GAA в сообщении #1356987 писал(а):

Опечатка. Как-то так
«Первый начальный момент найдем по формуле:
$\alpha_{s}[X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}x^{s}f(x)dx$.

Действительно, проглядел.

GAA в сообщении #1356987 писал(а):

В плотности и функции распределения "выброшены" точки $x=0$, $x=2$. На мой взгляд, надо посмотреть в конспекте или рекомендованном учебнике и поправить.

Вот так:
$f(x) =\begin{cases} \frac{1}{2} & 0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 0 & x < 0, x > 2 \end{cases}$

$F(x) =\begin{cases}0 & x < 0\\ \frac{x}{2} & 0 \leqslant x < 2 \\ 1 & x \geqslant 2 \end{cases}$