Помогите свернуть числовую последовательность

[Erich Fromm]

Необходимо упростить (свернуть) сумму:

$$\sum\limits_{k=0}^{N}[\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]^2$$

Использую для этого бином Ньютона:

$$[a+b]^N=\sum\limits_{k=0}^{N}\binom{k}{N}\cdot{a^k}\cdot b^{N-k}$$

Например, при

$$a=p, b=1-p$$

у нас получится:

$$\sum\limits_{k=0}^{N}\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}=[p+1-p]^N=1^N=1$$

Я пытаюсь так:

$$\sum\limits_{k=0}^{N}[\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]^2=[\sum\limits_{k=0}^{N}\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]^2- 2\cdot\sum\limits_{l=0}^{N-1}\binom{l}{N}\cdot p^l\cdot(1-p)^{N-l}\cdot[\sum\limits_{k=l+1}^{N}\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]$$

Откуда это взялось:

$$ [a+b+c+d]^2=a^2+b^2+c^2+d^2 - 2\cdot[a\cdot b + a\cdot c + a\cdot d + b\cdot c + b\cdot d + c\cdot d] $$

$$=[[p+1-p]^N]^2- 2\cdot\sum\limits_{l=0}^{N-1}\binom{l}{N}\cdot p^l\cdot(1-p)^{N-l}\cdot[\sum\limits_{k=l+1}^{N}\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]$$

$$=1 - 2\cdot\sum\limits_{l=0}^{N-1}\binom{l}{N}\cdot p^l\cdot(1-p)^{N-l}\cdot[\sum\limits_{k=l+1}^{N}\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]$$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»