2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите свернуть числовую последовательность
Сообщение23.11.2018, 16:25 


22/11/18
2
Необходимо упростить (свернуть) сумму:
$$\sum\limits_{k=0}^{N}[\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]^2$$
Использую для этого бином Ньютона:
$$[a+b]^N=\sum\limits_{k=0}^{N}\binom{k}{N}\cdot{a^k}\cdot b^{N-k}$$
Например, при $$a=p, b=1-p$$ у нас получится:
$$\sum\limits_{k=0}^{N}\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}=[p+1-p]^N=1^N=1$$
Я пытаюсь так:
$$\sum\limits_{k=0}^{N}[\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]^2=[\sum\limits_{k=0}^{N}\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]^2- 2\cdot\sum\limits_{l=0}^{N-1}\binom{l}{N}\cdot p^l\cdot(1-p)^{N-l}\cdot[\sum\limits_{k=l+1}^{N}\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]$$
Откуда это взялось:
$$ [a+b+c+d]^2=a^2+b^2+c^2+d^2 - 2\cdot[a\cdot b + a\cdot c + a\cdot d + b\cdot c + b\cdot d + c\cdot d] $$

$$=[[p+1-p]^N]^2- 2\cdot\sum\limits_{l=0}^{N-1}\binom{l}{N}\cdot p^l\cdot(1-p)^{N-l}\cdot[\sum\limits_{k=l+1}^{N}\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]$$
$$=1 - 2\cdot\sum\limits_{l=0}^{N-1}\binom{l}{N}\cdot p^l\cdot(1-p)^{N-l}\cdot[\sum\limits_{k=l+1}^{N}\binom{k}{N}\cdot{p^k}\cdot(1-p)^{N-k}]$$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение23.11.2018, 16:29 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.11.2018, 21:57 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group