Топология пространств функций, убывающих на бесконечности

[npetric]

Пусть $\mathcal{S}$ -- множество бесконечно дифференцируемых функций одной переменной, убывающих быстрее любого полинома. На нём можно ввести счётное семейство норм следующим образом:

\[ ||f||^{(p)} = \sup_{x \in \mathbb{R}, \alpha \leq p} (1 + x^2)^{p/2} | \partial^\alpha_x f(x) | \]

\[ ||.||^{(p)} \leq ||.||^{(p+1)} \]

Задаём сходимость на этом векторном пространстве следующим образом: последовательность сходится к нулю, если по каждой норме она сходится к нулю

Никак не могу сообразить, как можно описать эту топологию (и существует ли тут топология вообще?).

Никогда не задумывался над тем, автоматически ли предел порождает топологию, поэтому решил зайти из далека и считать его просто функцией $\text{\{последовательность из X\}} \rightarrow 2^X$

Eстественно считать множество открытым, если для любого эл-та любая сходящаяся к нему последовательность, начиная с некоторого номера, лежит в этом множестве -- несложно проверить, что это топология.

Мы хотели бы, чтобы последовательность в этой топологии сходилась к элементу тогда и только тогда, когда она сходится к нему в исходном определении.

В одну сторону очевидно: если последовательность сходится, то она сходится и в этой топологии к той же точке.

Можно ли придумать какие-нибудь ограничения на функцию "предел", чтобы обратное всегда было верно?
Понятно, что первое ограничение: для любого элемента существует последовательность, сходящаяся к нему. Иначе утверждение будет неверно (подумать над примером, когда все последовательности сходятся к одному и тому же элементу и только к нему)

Далее, поскольку мы ввели топологию таким образом, то, кажется, можно доказать, что замкнутые = секвенциально замкнутые. Поэтому получившаяся топология обладает счётной базой в каждой точке. Хотя это и является свойством введенной топологии, оно никак не помогает доказать, что введённая топология -- та самая, что нам нужна.

Возвращаясь к конкретному примеру предела:

Очевидна единственность исходного предела -- поэтому если вышеописанная топология является нужной, то она хаусдорфова. То, что она хаусдорфова, ни разу не очевидно.

[mihaild]

Не очень понятно - вас интересует пространство быстро убывающих функций, что-то общее про связь предела с топологией?
Сходимость в $\mathcal S$ топологизируема (и даже метризуема).

Если вы хотите восстановить топологию по пределу - то в общем случае это не получится (бывают разные топологии, задающиt одинаковое понятие сходимости; попробуйте придумать топологию кроме дискретной, относительно которой сходятся только стационарные последовательности).

npetric в сообщении #1356226 писал(а):

и считать его просто функцией $\text{\{последовательность из X\}} \rightarrow 2^X$

Так это предел или множество предельных точек?

[npetric]

mihaild в сообщении #1356244 писал(а):

npetric в сообщении #1356226 писал(а):

и считать его просто функцией $\text{\{последовательность из X\}} \rightarrow 2^X$

Так это предел или множество предельных точек?

Ну здесь я имею ввиду что предел может не быть единственный (последовательность переходит во множество её пределов)

-- 23.11.2018, 20:19 --

mihaild в сообщении #1356244 писал(а):

Не очень понятно - вас интересует пространство быстро убывающих функций, что-то общее про связь предела с топологией?
Сходимость в $\mathcal S$ топологизируема (и даже метризуема).

Если вы хотите восстановить топологию по пределу - то в общем случае это не получится (бывают разные топологии, задающиt одинаковое понятие сходимости; попробуйте придумать топологию кроме дискретной, относительно которой сходятся только стационарные последовательности).

Меня в этом вопросе заинтересовало именно отношение сходимости и топологии, пример пространства $\mathcal{S}$ просто под руку подвернулся.

Цели восстановить топологию у меня пока что нет, мне интересно существование топологии, порождающей определённый предел. И я пытаюсь понять, что от этого предела нужно требовать, чтобы она была

-- 23.11.2018, 20:34 --

Наиболее общий вопрос: как по функции "предел" понять, существует ли соответствующая топология, и если существует, то насколько хорошие у неё могут быть свойства?

-- 23.11.2018, 20:49 --

npetric в сообщении #1356226 писал(а):

Понятно, что первое ограничение: для любого элемента существует последовательность, сходящаяся к нему. Иначе утверждение будет неверно (подумать над примером, когда все последовательности сходятся к одному и тому же элементу и только к нему)

Также несложно понять, что предел должен не зависеть от любого начального куска последовательности

[mihaild]

Есть статья (точнее заметки), в которой есть список условий, при которых множество пар (направление, точка) задает топологию. Направления тут более подходящий инструмент, т.к. сходимости по направлению у разных топологий всегда отличаются (а вот сходящиеся последовательности могут быть одни и те же). Первые три легко переносятся на последовательности, про четвертый надо думать. И после этого проверить, сохраняется ли достаточность условий.

[npetric]

mihaild
Очень любопытно, спасибо огромное!

[Someone]

npetric в сообщении #1356226 писал(а):

Никак не могу сообразить, как можно описать эту топологию (и существует ли тут топология вообще?).

Предбаза топологии состоит из всевозможных открытых шаров относительно всех этих норм. Чтобы получить базу топологии, нужно взять всевозможные пересечения конечных наборов этих шаров. Поскольку у Вас счётное множество норм, эта топология метризуема. Это общее правило. В данном случае, поскольку у Вас нормы мажорируют друг друга, предбаза будет базой. И будет выполнено именно то, чего Вы хотите:

npetric в сообщении #1356226 писал(а):

Мы хотели бы, чтобы последовательность в этой топологии сходилась к элементу тогда и только тогда, когда она сходится к нему в исходном определении.

В метризуемых пространствах это всегда так.

npetric в сообщении #1356226 писал(а):

Никогда не задумывался над тем, автоматически ли предел порождает топологию, поэтому решил зайти из далека и считать его просто функцией $\text{\{последовательность из X\}} \rightarrow 2^X$

Скорее всего, нет.

Топологические пространства, в которых топология порождается сходящимися последовательностями, называются секвенциальными.

npetric в сообщении #1356226 писал(а):

Eстественно считать множество открытым, если для любого эл-та любая сходящаяся к нему последовательность, начиная с некоторого номера, лежит в этом множестве -- несложно проверить, что это топология.

Мы хотели бы, чтобы последовательность в этой топологии сходилась к элементу тогда и только тогда, когда она сходится к нему в исходном определении.

В одну сторону очевидно: если последовательность сходится, то она сходится и в этой топологии к той же точке.

Можно ли придумать какие-нибудь ограничения на функцию "предел", чтобы обратное всегда было верно?
Понятно, что первое ограничение: для любого элемента существует последовательность, сходящаяся к нему. Иначе утверждение будет неверно (подумать над примером, когда все последовательности сходятся к одному и тому же элементу и только к нему)

Я не знаю, каким условиям должно удовлетворять семейство сходящихся последовательностей, чтобы это семейство определяло некоторую топологию. И эта топология наверняка не единственная даже в очень простом случае, когда пространство есть объединение счётного множества последовательностей, сходящихся к одной точке. Вообще, такая постановка вопроса не кажется мне естественной. Более естественно работать с направленностями или фильтрами. Как будто бы, что-то в таком роде (именно с последовательностями) мне встречалось в первом томе двухтомника К.Куратовского "Топология", но в данный момент мне эта книга недоступна, поэтому не гарантирую, что там это действительно есть.

npetric в сообщении #1356226 писал(а):

Далее, поскольку мы ввели топологию таким образом, то, кажется, можно доказать, что замкнутые = секвенциально замкнутые. Поэтому получившаяся топология обладает счётной базой в каждой точке.

Это неверно. Секвенциальное пространство (и даже пространство Фреше—Урысона) не обязано удовлетворять первой аксиоме счётности.

npetric в сообщении #1356226 писал(а):

Очевидна единственность исходного предела -- поэтому если вышеописанная топология является нужной, то она хаусдорфова. То, что она хаусдорфова, ни разу не очевидно.

Абсолютно очевидно, если вспомнить аксиомы нормы (или аксиомы метрики, поскольку нормированные пространства — частный случай метрических).

[pogulyat_vyshel]

Линейное пространство $X$ называется локально выпуклым если в нем задано множество полунорм $\|\cdot\|_\gamma$. Множество $U\subset X$ называется открытым, если для всякого $u\in U$ найдется число $\epsilon>0$ и конечный набор индексов $\gamma_1,\ldots,\gamma_n$ таких, что $\{x\in X\mid\max_i\|u-x\|_{\gamma_i}<\epsilon\}\subset U$
Если полунорм счетное множество $\|\cdot\|_m,\quad m\in\mathbb{N}$ и если для любого $x\ne 0$ найдется полунорма $\|\cdot\|_k$такая, что $\|x\|_k\ne 0$ то указанная топология метризуема:
$d(x,y)=\sum_{k=1}^\infty\frac{\min\{1,\|x-y\|_k\}}{k^2}$
Если в дополнение к этому, пространство $X$ полно относительно данной метрики то оно называется пространством Фреше. $\mathcal S$ -- пространство Фреше

[npetric]

Someone
Когда изучал общую топологию, раздел про метризуемость пропустил. Видать, зря. Спасибо!

Про направленности, фактически, только вчера узнал.

pogulyat_vyshel
Не знал, спасибо :)

[ITSME]

Интересная дискуссия с философским уклоном. Но решение исходной задачи (в непрерывном случае) простое : компактифицируйте прямую бесконечно удаленной точкой, в все исходные функции доопределите нулем. Получится классическое пространство непрерывных
функций на компакте, у Вас - его замкнутое подпространство. Упражнение : какое именно?

С близкими праздниками!