Ещё точки Фейнмана?

[Борис Лейкин]

Точка Фейнмана - шесть раз повторяющаяся цифра 9 в десятичном разложении числа Pi, начиная с цифры номер 762 после запятой. Называется так потому, что Ричард Фейнман выразил желание запомнить все цифры числа Pi до этого места, с тем чтобы потом рассказывая кому-нибудь их по памяти, закончить следующими словами: " ... девять, девять, девять, девять, девять, девять и так далее".
http://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_point

Просто любопытно, найти ещё такую точку в разложении какого-нибудь иррационального числа?

[maxal]

Ну, например, в десятичной записи числа $e$ группа из 6-ти девяток первый раз появляется на 384340-м месте после запятой. Более того, на этом месте стоит группа аж из 8-ми девяток.

Для других иррациональных констант типа $\sqrt{2}$ - см. http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/rjn_dig.html

Добавлено спустя 19 минут 47 секунд:

А для иррациональной константы Рамануджана $e^{\pi\sqrt{163}$ в десятичной записи сразу после запятой идет серия из 12-ти девяток.

[Sonic86]

Блин, странные какие-то вопросы.
Очевидно, что для любого трансцендентного числа найдется бесконечное множество таких последовательностей из любых цифр какой-угодно длины. Может быть и для алгебраических тоже.
Или я что-то не понял?

[maxal]

Sonic86 писал(а):

Очевидно, что для любого трансцендентного числа найдется бесконечное множество таких последовательностей из любых цифр какой-угодно длины. Может быть и для алгебраических тоже.

Очевидно, это не верно. Трансцендентная константа Лиувилля тому контр-пример.

[Sonic86]

Ага, согласен, затупил!
Но что-то вроде этого должно быть, что-то плохо помню.

[ИСН]

Суммируя известное миру "что-то вроде этого": известно, что "почти все" числа "нормальны" (т.е. у них там найдётся..., и всё такое), при этом не известно ни одного примера "нормальных" или "ненормальных" чисел, кроме специально построенных для этой цели.
(Среди иррациональных, разумеется. С рациональными-то всё ясно.)
Неизвестно, куда относятся $\pi$, $\sqrt 2$ и все остальные "старые знакомые".

[Sonic86]

Ну ладно:
У любого трансцендентного числа для любой системы счисления существует такая цифра, что в его представлении в этой системе счисления встречаются сколь угодно большие последовательности этой цифры.
У числа Лиувилля эта цифра - нуль.

Честно говоря, сейчас точно не могу ничего обосновать.
Вот наиболее дурацкий способ:
Пусть Х - случайная величина, как-то распределенная на 0,1,...,n-1. Вероятности выпадения ненулевые. Пусть она выпадает алеф-нуль раз. Дописываем слева к цепочке ее значений "0," и получаем действительное число. Очевидно, что ввиду ненулевых вероятностей всегда будут сколь угодно большие цепочки из одной цифры. С другой стороны - с вероятностью 1 произвольное действительное число иррационально. Поэтому с вероятностью 1 данное число имеет сколь угодно длинные цепочки одинаковых цифр в своем составе.
Очевидно, что существование константы Лиувилля этому не противоречит в силу того, что рассуждаем мы не над числами, а над вероятностями.

З.Ы. Очень жду коммент ИСН

[MaximKat]

0.01101001100101101001011001101001...
больше двух одинаковых цифр подряд не встречается
предлагаю самостоятельно догадаться как это число строится

исправил число

[Cave]

MaximKat
А доказано, что это число трансцедентное? Есть у него имя?

Sonic86
"У любого числа" и "почти у любого числа" (хотя бы в смысле равномерного распределения на [0;1) ) для теории чисел являются принципиально разными вещами.

[arqady]

MaximKat писал(а):

0.01101001011010010110100101101001...
больше двух одинаковых цифр подряд не встречается
предлагаю самостоятельно догадаться как это число строится

Догадался:

$$0.011010010110100101101001011010019999999999999....$$

[MaximKat]

Cave в сообщении #135605 писал(а):

А доказано, что это число трансцедентное? Есть у него имя?

не знаю
но в утверждениях Sonic86 не заметно, чтобы трансцедентность принципиально использовалась где-то

[Someone]

MaximKat писал(а):

0.01101001011010010110100101101001...

Cave писал(а):

А доказано, что это число трансцедентное?

На выписанном участке явно 4 паза повторяется одна и та же комбинация 01101001. Если считать, что и дальше соблюдается та же закономерность, то это число рациональное. Нетрудно построить иррациональное:

0.01101001100101101001011001101001...

После десятичной точки пишем 0. Далее поступаем так: в уже выписанной дробной части заменяем 0 на 1, а 1 - на 0, и что получится - приписываем справа. Повторяем эту процедуру бесконечно много раз.

Трансцендентное это число или нет - не знаю. Можно составить континуум чисел из промежутка $(0.1,0.111)$, в записи которых нет других цифр, кроме 0 и 1, и никакая цифра не встречается более двух раз подряд. Правило следующее: начинаем с $0.$; если уже написанная часть числа оканчивается на 0, приписываем справа 10 или 11 (это же пишеи и сразу после $0.$), если на 1 - 00 или 01. Так как множество алгебраических чисел счётно, то среди таких чисел есть трансцендентные.

[MaximKat]

Someone
да, это я проглючил. идея была та же, а число выписал неправильно
уже исправил

Добавлено спустя 3 минуты 49 секунд:

http://mathworld.wolfram.com/Thue-MorseConstant.html

[ewert]

не понял, об чём разговор, но число с только двумя цыфирками, например:

0.101001000100001000001000000100...

Честно, не понял, в чём проблема.

[Cave]

Someone
Я даже проверять написанное не стал, сразу понял, о каком числе речь идёт, потому что соответствующая последовательность нулей и единиц хорошо известна.
А иррациональность этого числа доказывается просто.

MaximKat
Спасибо. По ссылке сказано, что доказано, что оно является трансцедентным.