Ещё точки Фейнмана?

[Jnrty]

ewert в сообщении #135617 писал(а):

не понял, об чём разговор, но число с только двумя цыфирками, например:

0.101001000100001000001000000100...

Sonic86 в сообщении #135580 писал(а):

У любого трансцендентного числа для любой системы счисления существует такая цифра, что в его представлении в этой системе счисления встречаются сколь угодно большие последовательности этой цифры.

[Sonic86]

Трансцендентность (иррациональность) используется в то смысле, что мощность множества этих чисел - несчетна, в то время как рациональных и алгебраических - счетна.
Поэтому с вероятностью 1 произвольно взятое действительное число трансцендентно (иррационально)

[Brukvalub]

Sonic86 в сообщении #135725 писал(а):

Трансцендентность (иррациональность) используется в то смысле, что мощность множества этих чисел - несчетна, в то время как рациональных и алгебраических - счетна.
Поэтому с вероятностью 1 произвольно взятое действительное число трансцендентно (иррационально)

Непонятно, каким образом мероизмерение (вероятность) связано с мощностью. Без указания носителя вероятностной меры и ее распределения на носителе всякие утверждения о мере множества трансцендентных чисел кажутся несколько странными.

[Sonic86]

Дааа... я поторопился... (жаль, ИСН не поставил меня на мое место )
MaximKat построил вполне убедительный для меня контрпример.
В принципе я бы мог сформулировать другое предположение: "Нарастающие цепочки
одинаковых цифр встретятся в любом взятом иррациональном числе для бесконечного
числа оснований системы счисления.", - но хватит.
Мне кажется, тут в большинстве случаев не должно зависеть от системы счисления,
но пока это рассматривать не буду.

Brukvalub, насчет мощности и меры тут вы правы.
Доказательство сильно не критикуйте - я его наспех писал.

MaximKat! Я так понял?: вы свои числа строите так?:
1) 0,1;
2) 0,10; 0,11;
3) 0,1001; 0,1010; 0,1100; 0,1111;
4) 0,10010110; 0,10011001; 0,10100101; 0,10101010;
0,11000011; 0,11001100; 0,11110000; 0,11111111;
..................................................
То есть на каждом шаге Вы дробную часть либо инвертируете, либо оставляете на месте и
приписываете результат справа?

Проще говорить про иррациональные числа - их легче узнавать через их двоичную дробь, а
трансцендентные числа являются иррациональными.

Действительное число назовем $F_q (a_0, ..., a_m)$-числом ($m<q$), если в его разложении
в $q$-ичную дробь встречаются сколь угодно длинные последовательности из цифры $a_i$.
Как всегда проще рассматривать $F_2 M$-числа, их удобно определять с помощью последовательностей
количеств каждой цифры сразу, так как всегда ясно, какая цифра следует за нулем, если эта цифра -
не нуль, а какая - за 1 при смене цифры.

Пусть ${a_0 (n)}, {a_1 (n)}$ - две неограниченные последовательности натуральных чисел.
Тогда мы можем составить $F_2 (0,1)$-число следующего вида. Сначала "0,", потом $a_0 (1)$
нулей, потом $a_1 (1)$ единиц, потом $a_0 (2)$ нулей, потом $a_1 (2)$ единиц, и так далее.
Вообще: $x$ является $F_{q} M$-числом $\leftrightlongarrow$ последовательности ${a_i (n)}, i \in M$
неограниченны, независимо от порядка их следования. В случае $q=2$ каждой паре последовательностей
взаимно однозначно соответствует пара $F_2$ чисел (зависит от первой цифры после запятой)
Так как ${a_0 (n)}, {a_1 (n)}$ - неограниченные, то составленное действительное число не будет
рациональным (в его разложении встретяться сколь угодно длинные последовательности из нулей
и единиц, потому периодичность дроби невозможна), значит оно иррационально.
(иррациональны будут также все $F_2 (0)$- и $F_2 (1)$-числа (доказывается так же))

Далее, множество $K_1$ неограниченных последовательностей натуральных чисел несчетно.
Рассмотрим множество $K_2$ всех возрастающих последовательностей натуральных чисел, начинающихся с 1.
Это $K_2$ - подмножество $K_1$, поэтому, если $K_2$ несчетно, то и $K_1$ несчетно.
Рассмотрим $K_2$. $a_n \in K_2 \leftrightlongarrow 1=a_1 <a_2 < a_3 < a_4 < ...$.
Обозначим $\delta a_n =a_{n+1}-a_{n}$. Тогда каждой $a_n \in K_2$ взаимно однозначно соответствует
последователньость ${ \delta a_n }: \delta a_n > 0$. А это множество совпадает с $K_0$ -
множеством всех последовательностей натуральных чисел. Значит $K_0, K_1, K_2$ равномощны.
Значит $K_1$ несчетно, значит множества всех $F_2 (0,1), F_2 (0), F_2 (1)$ дробей несчетны.

Интересно было бы как-то сравнить множества $F_2 M$-чисел и прочих.

например так. Раз у нас основание $q=2$, то будем делить отрезок $[0, 1]$ на $2^n$ частей.
Найдем отношение $T(n)/2^n$, где $T(n)$ - число частей отрезка $[0, 1]$, куда попало хотя бы одно
из $F_2 M$-чисел. И найдем его предел. Можно ли этот предел рассматривать как вероятность (или меру?)
появления $F_2 M$ чисел?
Если да, то для любых $F_2 M$-чисел $T(n)=2^n$ (начало числа может быть произвольно)
и тогда эта вероятность равна 1 (что и было раньше), а, если я правильно понял MaximKat,
то у него $T(2^n)=2^{n-1}$, поэтому $T(n)=n/2$, поэтому такая мера множества его чисел
равна 0. Хотя если к его числам дописывать справа по произвольному конечному куску
из нулей и единиц, то новое число все равно не будет иметь сколь угодно большие
последовательности из одинаковых цифр, хотя сразу будет тоже $T(n)=2^n$.
Можно ли тут придумать какую-нибудь подходящую меру?

Или я опять что-то неправильно понял ?

[hurtsy]

Борис Лейкин писал(а):

Просто любопытно, найти ещё такую точку в разложении какого-нибудь иррационального числа?

Вам нужны такие числа? "Их есть у нас" . Только не обижайтесь.

Возьмем число имеюшее $k$ 9-ок. $0.9...9$. Дальше дописываем $\pi$ от $k+1$ позиции. С уважением,

[Sonic86]

Вот мне тоже кажется, что ничего особенного нет.

Кстати, мера, приведенная мной выше кривая - мера множества получается равной мере множества, которое исходное множество плотно заполняет. Она равна 1 у множества правильных дробей, которое счетно. Может есть какие-то другие варианты?
Тут если учитывать только конечную часть дроби, то всегда можно применить этот трюк - дописать сначала произвольное конечное количество цифр.

[hurtsy]

Sonic86

Цитата:

Вот мне тоже кажется, что ничего особенного нет.

Правильнее, мне так кажется, ничего особенного "имеет место быть". Мне промолчать не дает Ваша подпись

Цитата:

"Существует" значит "непротиворечиво"

С уважением,

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Sonic86 в сообщении #135725 писал(а):

Трансцендентность (иррациональность) используется в то смысле, что мощность множества этих чисел - несчетна, в то время как рациональных и алгебраических - счетна.
Поэтому с вероятностью 1 произвольно взятое действительное число трансцендентно (иррационально)

Непонятно, каким образом мероизмерение (вероятность) связано с мощностью. Без указания носителя вероятностной меры и ее распределения на носителе всякие утверждения о мере множества трансцендентных чисел кажутся несколько странными.

ну, между прочим, всё же связаны. Если мера непрерывна, то не только иррациональные вообще, но и трансцедентные числа в частности имеют меру 1 -- и именно потому, что дополнения до них счётны.

Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды:

Sonic86 писал(а):

Кстати, мера, приведенная мной выше кривая - мера множества получается равной мере множества, которое исходное множество плотно заполняет. Она равна 1 у множества правильных дробей, которое счетно.

А вот как раз это уже нечто совсем кривое.