Асимптотическая формула для простых чисел

[juna]

Уважаемые математики форума! Проверьте корректность следующих рассуждений.
Известно, что гармонический ряд приближается натуральным логарифмом и постоянной Эйлера. С другой стороны, это дзета функция Римана от s=1 и для нее справедлива формула Эйлера через произведение простых чисел. Предполагаем, что в бесконечности эти ряды расходятся одинаково.
$ln(N)+\gamma=\prod\limits_{n=1}^{f(N)} {\frac {p(n)} {p(n)-1}$
$ln(ln(N)+\gamma)=\sum\limits_{n=1}^{f(N)} {ln\frac {p(n)} {p(n)-1}$
$ln(ln(N)+\gamma)=\int\limits_1^{f(N)} {ln\frac {p(n)} {p(n)-1} dn+S$
Так всегда можно делать, если под знаком суммы убывающая функция, здесь S=const
Дифференцируем по N, чтобы освободиться от интеграла и констант.
$\frac 1 {N(lnN+\gamma)}=ln\frac {p(f(N))} {p(f(N))-1}$
После преобразований получаем:
$p(f(N))=\frac 1 {1-e^{\frac {-1} {N(lnN+\gamma)}}}$
Возьмем f(N)=N, получим формулу, выражающую простое число по его номеру. Данная формула в пределах доступных мне таблиц точнее аппроксимирует простые числа, чем известная NlnN. Но если известная формула ведет себя достаточно монотонно (приближаясь к простому числу), то предложенная имеет оптимум по точности в районе N=100 и далее начинает отдаляться от простого числа.
Вопросы:
1. насколько корректны приведенные рассуждения (экспериментально они подтверждаются хотя ясно, что вольностей и допущений много);
2. что Вы думаете про вид функции f(N), как можно улучшить приведенную оценку;
3. в каком месте предложенная формула даст менее точный результат, чем известная

[juna]

К сожалению, уже около 40 человек просмотрело! и молчание. Отсюда делается вывод - или написан полный бред (да вроде нет), или никому не интересно! Ответьте кто-либо, что-либо- любые коментарии.

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

...
$ln(ln(N)+\gamma)=\int\limits_1^{f(N)} {ln\frac {p(n)} {p(n)-1} dn+S$
Так всегда можно делать, если под знаком суммы убывающая функция, здесь S=const
Дифференцируем по N, чтобы освободиться от интеграла и констант.
$\frac 1 {N(lnN+\gamma)}=ln\frac {p(f(N))} {p(f(N))-1}$
...

По крайней мере здесь -- ошибка. Вы потеряли производную $f'(N)$, дифференцируя интеграл.

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Возьмем f(N)=N, получим формулу...

Здесь вторая -- произвольно брать $f(N)$ нельзя, иначе не выполняется исходное тождество.

[juna]

То,что потеряна производная по F(N) - это конечно вольность, связанная с тем, что я сам в уме всегда держал F(N)=N - и продемонстрировать данную формулу хотел для этого случая. Потом подумал, что надо обобщить. Но на самом деле, когда N стремится к бесконечности правая и левая часть совпадает именно для F(N)=N - эта гипотеза - следующая вольность (более того F(N)-целочисленная функция, и вы никогда не найдете такой целочисленной функции, чтобы правая и левая часть в точности совпали, кроме бесконечности). Но несмотря на все это, результаты поразительно совпадают с фактами, как-будто гипотеза действительно верна (можете сами проверить формулу на ПК). Вот и хочется узнать компетентного мнения какова может быть F(N), и какова может быть точность данной формулы по сравнению с NlnN.

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

$ln(N)+\gamma=\prod\limits_{n=1}^{N} {\frac {p(n)} {p(n)-1}$

Даже приблизительно неверно (с точностью до ${\rm O}(1)$).

[juna]

Хорошо!
1. Объясните, почему результаты окончательной формулы так хорошо согласуются с фактами - формула точнее известной в пределах доспупных таблиц
2. Какой вид должна, по-Вашему, иметь функция F(N) в бесконечности когда мы приравнивает один расходящийся ряд другому. Дело здесь не в виде функции F(N) - Вы можете подобрать подходящее приближение:
$\prod\limits_{j=1}^N \frac {p(j)}{p(j)-1}=E(N)$
$E(\frac {\sqrt {N}} {2})\sim ln(N)+\gamma$ и получить далекий от фактов результат.

[незваный гость]

На халяву я бы оценил $\prod\limits_{j=1}^N \frac {p(j)}{p(j)-1} > \ln (N \ln N) + {\rm O}(1)$. Но я не числовик, и это -- халява.

[juna]

Интересно узнать "на халяву" Ваше верхнее ограничение. Наверное я слишком многого хочу на халяву... Зато можно указать границы, в которых запрятано простое число по его номеру.
А если попытаться сузить границу - то совсем хорошо!
С уважением надеюсь на халяву.

[незваный гость]

Эксперементально похоже, что $\prod\limits_{j=1}^N \frac {p(j)}{p(j)-1} < \ln (N^2 \ln N)$. Никакой математикой здесь и не пахнет, только эксперимент.

[juna]

Указанные границы неплохи. На простое число они указывают с разбросом 5%. Однако эксперимент показывает, что нижнюю оценку можно сузить, а вот верхнюю необходимо раздвигать – оценка эта неверна (не привожу окончательных выражений – слишком громоздки).
Может быть, вернуться к истокам и искать F(N) и ее производную. Несмотря на все Ваши замечания, вид F(N)=N видимо не худший выбор из всех возможных.
Я понимаю, что все это не математика, но ведь великий В.И. Арнольд утверждает, что математика - экспериментальная наука…

[незваный гость]

Пусть $\prod\limits_{j=1}^N \frac {p(j)}{p(j)-1}=E(N)$. Тогда $ \frac {p(N)}{p(N)-1}}=\frac {E(N)} {E(N-1)} $ и $p(N) = \frac {E(N)} {E(N) - E(N-1)} $ Подставьте $E(N)$, и Вы получите точную формулу. И не надо никаких интегралов, производнх -- ничего.

[juna]

Альтернатива, конечно, интересная. Элементарное на поверхности….
Кстати, если в Вашей формуле принять E(N)=lnN+gamma получается не так уж и неточно.
Однако нужно заметить, что метод интервального оценивания величины E(N) неприменим ни в Вашей ни в моей формуле. Действительно, пусть мы получили интервал оценок a(N)<E(N)<b(N), но ведь это не значит, что a(N)/(a(N)-a(N-1))<p(N)<b(N)/(b(N)-b(N-1)). Тоже самое в менее явном виде наблюдается и в моем случае – после дифференцирования не факт, что исходное неравенство сохранится. Таким образом, нужно как-то правильно подбирать функции для границ интервалов или искать явный вид функции E(N), F(N).

[juna]

Хотелось бы внести окончательную ясность в вопрос и указать результаты, к которым можно придти. Итак, было показано, что интервальная оценка величины $\prod\limits_{i=1}^N {\frac {p(i)}{p(i)-1}}$ мало что дает при обоих подходах. Необходимо еще обеспечить, чтобы указанные неравенства не переворачивались при составлении частного или при дифференцировании. Можно идти другим путем – найти две нижние оценки и обеспечить то, чтобы одна при составлении частного или дифференцировании сохранялась а другая переворачивалась. За такие нижние оценки были взяты следующие: уже указанная $ln(N ln(N))$ (сохраняется при указанных действиях), и $ln(2N ln(N))$ (переворачивается при N>30). Все это позволяет сформировать следующую интервальную оценку для простого числа $p(N)$ в зависимости от его номера при $N>30$:
$\frac {ln(N ln(N))}{( ln(N ln(N))- ln((N-1) ln(N-1))}<{p(N)}< \frac {ln(2N ln(N))}{( ln(2N ln(N))- ln(2(N-1) ln(N-1))}$ (по формуле уважаемого незванного гостя)

$\frac {1}{1-e^{\frac {-(ln(N)+1)}{N ln(N)ln(N ln(N))}}}<{p(N)}<\frac{1}{1-e^{\frac {-(ln(N)+1)}{N ln(N)ln(2N ln(N))}}}$ (по моей формуле).
При $N>30$ всем желающим предлагаю проверить эти формулы и поискать контрпример, например в Maple. (я сколько не искал – ничего не нашел).

[juna]

Решил продолжить эту тему, хотя, судя по всему, она не очень популярна у форумчан.
Прежде всего, приоткроем завесу, которая, к моему стыду, приоткрылась и мне после того, как я начал данные заметки. Я говорю о первой теореме Мертенса:
$\gamma=\lim\limits_{N \to \infty}(\sum\limits_{p \leqslant N}{ln{\frac {p}{p-1}}}-ln(ln(N)))$
Применяя уже указанные мною преобразования, получаем следующую асимптотическую формулу для простого числа - $p(N) {\sim}\frac{1}{1-e^{\frac{-1}{N(lnN)}}}$. Как видите, она мало отличается от уже указанной. Забавно отметить, что первоначальная даже точнее. Итак, окончательно формула $p(N) \sim\frac{1}{1-e^{\frac{-1}{N(lnN)}}}$ может считаться альтернативой уже известной формулы $p(N)=N(ln(N))$. Используя формулу Мертенса в чистом виде: $(e^{\gamma})ln(N)=\prod\limits_{ p\leqslant{N}}{\frac {p}{p-1}}$ а также формулу названного гостя, легко получается и другая асимптотическая формула: $p(N) \sim\frac{lnN}{lnN-ln(N-1)}$.
Используя формулу Мертенса, легко обосновать и приведенные нижние оценки произведения $\prod\limits_{ p\leqslant{N}}{\frac {p}{p-1}}$ в виде $ln(N(ln(N)))$ и $ln(2N(ln(N)))$. Вопрос теперь в том, как доказать, что оценка $ln(N(ln(N)))$ отстается всегда нижней при дифференцировании и оценка $ln(2N(ln(N)))$ становится верхней при дифференцировании для $N>30$. Кажется, что если это удастся сделать, можно получить ряд интересных теорем о простых числах.

[juna]

Пусть $F_{inf}(N)$ и $F_{sup}(N)$ - определенные выше нижняя и верхняя границы для простого числа по его номеру. Пусть $\pi[A,B]$ - количество простых чисел в интервале $[A,B]$, тогда для любого N справедлива следующая оценка: ${k}\leqslant{\pi[F_{inf}(N),F_{sup}(N)]} }\leqslant {k+m+h}$, где $k, m, h$ находятся из трех уравнений:
$F_{sup}(N)=F_{inf}(N+k)$
$F_{inf}(N)=F_{sup}(N-h)$
$F_{sup}(N+k)=F_{inf}(N+k+m)$.
Кажется, если удачно экстраполировать сложные функции $F_{inf}(N)$ и $F_{sup}(N)$, то хотя найденные границы и расширятся, можно получить много различных утверждений подобных постулату Бертрана. Однако априори сложно указать, где эти результаты конструктивно можно использовать.